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曲線が極座標$(r,\{F(r,\ \theta)=0}}$と表されるとき,\ これを\textbf{\textcolor{blue}{極方程式}}という.}{直線の極方程式}}極Oを通り,\ 始線OXとのなす角が$\bm{\alpha}$の直線点A$\bm{(a,\ \alpha)}$を通り,\ OAに垂直な直線}}
極座標を原則r\geqq0として考えるのとは異なり,\ 極方程式ではr<0の場合も考える. \\[.2zh] r\geqq0に限定してしまうと曲線によってはその一部しか表せなくなり,\ 不便だからである. \\[.2zh] r<0のときの点(r,\ \theta)は,\ 極\text Oから偏角\,\theta\,の半直線の逆向きに距離\zettaiti r進んだ点を表すと考える. \\[.4zh] つまり,\ \bm{(r,\ \theta)\ \Longleftrightarrow\ (-\,r,\ \theta+\pi)}\ である.\ 例えば,\ \left(-\,1,\ \bunsuu{\pi}{3}\right)と\left(1,\ \bunsuu43\pi\right)は同じ点と考える. \\[.8zh] 極\text Oから\ \theta=\bunsuu{\pi}{3}\ 方向に-1進むことは,\ \theta=\bunsuu43\pi\ 方向に+1進むことに等しいというわけである. \\\\
直線の極方程式として本質的に重要なのは,\ [1]と[2]の2パターンである. \\[.2zh] \theta\,のみが固定されrが任意の値をとりうるならば,\ [1]のように極\text Oを通る直線上の点全体を表せる. \\[.2zh] [2]は図形的に考える必要がある.\ \ \triangle\mathRM{OAPに着目すると,\ \bm{OP\cos\angle AOP=OA}}である. \\[.2zh] 極方程式の形は公式として覚えるのではなく,\ \bm{自分で図を描いて導けるか}が圧倒的に重要である. \\[.2zh] その図形的意味を必ず確認しておいてほしい. \\[.2zh] \cos(-\,\theta)=\cos\theta\ より\,\cos(\theta-\alpha)=\cos(\alpha-\theta)であり,\ \theta\,と\,\alpha\,の大小関係は気にしなくてよい. \\[.2zh] なお,\ 点\mathRM Aを(a,\ b)ではなく(a,\ \alpha)と設定しているのは,\ 極座標(r,\ \theta)だからである. \\[.2zh] a,\ rは当然アルファベット,\ \alpha,\ \theta\,はギリシャ文字である.
\}次の直線の極方程式を求めよ. \\[1zh] \hspace{.5zw} (1)\ \ 極Oを通り,\ 始線とのなす角が$\bunsuu{\pi}{4}$の直線 \\[.8zh] \hspace{.5zw} (2)\ \ 極座標がA$\left(3,\ \bunsuu{\pi}{2}\right)$である点を通り,\ OAに垂直な直線 \\[1.2zh] \hspace{.5zw} (3)\ \ 極座標がA$\left(2,\ \bunsuu{\pi}{6}\right)$である点を通り,\ OAに垂直な直線 \
(2)\ \ 図の\triangle\mathRM{OAP}より\ r\cos\hspace{-.2zw}\left(\bunsuu{\pi}{2}-\theta\right)=3  公式\ \cos\hspace{-.2zw}\left(\bunsuu{\pi}{2}-\theta\right)=\sin\theta\ で簡潔にする. \\[.8zh] \phantom{(2)}\ \ 実は,\ 題意より直交座標上の直線y=3なので,\ これをy=r\sin\theta\ で極座標に変換すると速い. \\[.2zh] \phantom{(2)}\ \ 一般に,\ 直交座標上の直線y=a,\ x=aは,\ 極方程式ではr\sin\theta=a,\ r\cos\theta=aとなる. \\[.2zh] \phantom{(2)}\ \ これらは,\ r\cos(\theta-\alpha)=aにおいて\ \alpha=\bunsuu{\pi}{2},\ \alpha=0\ としたものに相当する. \\[1zh] (4)\ \ x=r\cos\theta,\ y=r\sin\theta\ を代入すると,\ 直交座標上の方程式を極方程式に変換できる. \\[.2zh] \phantom{(2)}\ \ ただし,\ (イ)は原点を通る直線であるから,\ 図形的意味を考えたほうが速い. \\[.2zh] \phantom{(2)}\ \ y=\ruizyoukon3\,xは,\ 原点(0,\ 0)と(1,\ \ruizyoukon3\,)を通る直線であるから,\ x軸とのなす角は\,\bunsuu{\pi}{3}\,である. \\[1zh] \phantom{(2)}\ \ (ウ)では代入した後に\bm{三角関数の合成}を行うべきである. \\[.2zh] \phantom{(2)}\ \ 数\text{I\hspace{-.1em}I}で学習した \sin 合成を行っても,\ 別に解答としては問題ない. \\[.2zh] \phantom{(2)}\ \ しかし,\ 直線の極方程式の基本形\ r\cos(\theta-\alpha)=a\ を考慮し,\ \bm{\cos 合成}するのが普通である. \\[.2zh] \phantom{(2)}\ \ \cos 合成の存在を今初めて知った学生も多いだろう.\ \sin 合成と比較しながら説明する. \\[.2zh] \phantom{(2)}\ \ \sin 合成では,\ a\sin\theta+b\cos\theta\ に対し,\ 座標平面上に点(a,\ b)をとった. \\[.2zh] \phantom{(2)}\ \ 原点との距離\ \ruizyoukon{a^2+b^2}\ とx軸とのなす角\,\alpha\,を求め,\ \ruizyoukon{a^2+b^2}\sin(\theta+\alpha)\ とするのであった. \\[.2zh] \phantom{(2)}\ \ \cos 合成では,\ \bm{a\,\underline{\cos\theta}+b\,\underline{\sin\theta}\ に対し,\ 座標平面上に点(a,\ b)をとる.} \\[.2zh] \phantom{(2)}\ \ \sin 合成と同様に\,\alpha\,を求めた後,\ \bm{\ruizyoukon{a^2+b^2}\cos(\theta-\alpha)}\ とする. \\[.2zh] \phantom{(2)}\ \ 本問 \cos\theta+\ruizyoukon3\,\sin\theta\,の場合の点は(1,\ \ruizyoukon3\,)であるから,\ \ruizyoukon{a^2+b^2}=2,\ \alpha=\bunsuu{\pi}{3}\ である.
}次の極方程式を直交座標の方程式で表せ.
(2)\ \ 始線とのなす角が\,\bunsuu{\pi}{6}\,ならば,\ 直線の傾きは\ \tan\bunsuu{\pi}{6}=\bunsuu{1}{\ruizyoukon3}\ である. \\\\
(3)\ \ 加法定理\ \cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta\ を用いた後,\ r\cos\theta=x,\ r\sin\theta=y\ とする. \\[.2zh] \phantom{(3)}\ \ 前問(ウ)の逆である.\ 元はといえば,\ \bm{加法定理の逆をやっているのが三角関数の合成}である.