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極方程式$r=1+2\cos\theta\ \ (0\leqq\theta\leqq2\pi)$で表される曲線の概形を描け. \\
リマソンの極方程式}}}} \\\\[.5zh] 極方程式{\large $\bm{\textcolor{red}{r=a+b\cos\theta}}$}で表される曲線を\textbf{\textcolor{blue}{リマソン}}(蝸牛形)という. \\[.2zh] 特に$a=b$のとき,\ カージオイド$r=a(1+\cos\theta)$となる.
よって,\ \textcolor{red}{$r=f(\theta)$は始線に関して対称}である.
リマソンは極方程式の代表なので,\ 概形を覚えておくべきである.\ 蝸牛はカタツムリのことである. \\[.2zh] ただし,\ カージオイドに比べると出題率はかなり下がる. \\[.2zh] 対称性を考慮すると,\ 0\leqq\theta\leqq\pi\,のみ考慮すればよいことがわかる. \\[.2zh] \theta=0,\ \pi\,のとき,\ それぞれr=a+b\cos0=a+b,\ \ r=a+b\cos\pi=a-b\ である. \\[.2zh] \bunsuu23\pi\leqq\theta\leqq\pi\,のときr=1+2\cos\theta\leqq0である. \\[.6zh] 例えば,\ \left(1-\ruizyoukon2,\ \bunsuu34\pi\right)=\left(\ruizyoukon2-1,\ \bunsuu74\pi\right)である. \\[.8zh] よって,\ 0\leqq\theta\leqq\bunsuu23\pi\,には外側の曲線の上半分,\ \bunsuu23\pi\leqq\theta\leqq\pi\,に内側の曲線の下半分が対応する. \\[.8zh] 同様に,\ \pi\leqq\theta\leqq\bunsuu43\pi\,には内側の曲線の上半分,\ \bunsuu43\pi\leqq\theta\leqq2\pi\,には外側の曲線の下半分が対応する.
リマソンの極方程式については,\ $r=2\cos\theta$を利用して図示する方法も重要である. \\[.2zh] 極方程式$\textcolor{red}{r=2\cos\theta}$は,\ \textcolor{red}{中心$(1,\ 0)$,\ 半径$1$の円}を表す. \\[.6zh] これを元にして$r=1+2\cos\theta$が表す曲線を図示できる. \\[.2zh] 要は,\ \textbf{\textcolor{cyan}{$\bm{r=2\cos\theta}$上の点に対し,\ 極からの距離が$\bm{+\,1}$になる点を結んでできる曲線}}である.
一般に,\ 極方程式r=2a\cos(\theta-\alpha)は,\ 中心(a,\ \alpha),\ 半径aの曲線を表すのであった. \\[.2zh] r^2=2r\cos\theta\ よりx^2+y^2=2x,\ つまり(x-1)^2+y^2=1\ と考えてもよい. \\\\
0\leqq\theta\leqq\bunsuu{\pi}{2}\ のときのr=1+2\cos\theta\,は,\ 単純にrを+1した点をとればよいだけである. \\[.6zh] 厄介なのは,\ \bunsuu{\pi}{2}\leqq\theta\leqq\pi\ の範囲である.\ このとき,\ r=2\cos\theta\,においてr\leqq0となる. \\[1zh] r=2\cos\theta\ \left(\bunsuu{\pi}{2}\leqq\theta\leqq\pi\right)の表を作成すると
\left(-\,1,\ \bunsuu23\pi\right)=\left(1,\ \bunsuu53\pi\right)など考慮すると,\ これは円r=2\cos\theta\ の下半分を表す. \\[.6zh] 同様に考えると,\ \pi\leqq\theta\leqq\bunsuu32\pi\,のとき円の上半分,\ \bunsuu32\pi\leqq\theta\leqq2\pi\ のとき円の下半分を表す. \\[.8zh] つまり,\ r=\cos\theta\ において0\leqq\theta\leqq2\pi\,のとき,\ 点(r,\ \theta)\,は円を2周するわけである. \\[.2zh] 0\leqq\theta\leqq\pi\,が1周目,\ \pi\leqq\theta\leqq2\pi\,が2周目である. \\[.2zh] そして,\ \bm{1周目の円全体がリマソンの外側上半分と内側下半分に対応する}ことを理解する必要がある. \\[1zh] r=1+2\cos\theta\ \left(\bunsuu{\pi}{2}\leqq\theta\leqq\pi\right)の表はのときの点\left(1,\ \bunsuu53\pi\right)\,に対応するr=1+2\cos\theta\,の点を考えるとする. \\[.8zh] このとき,\ 点\left(1,\ \bunsuu53\pi\right)を\,\theta=\bunsuu23\pi\,方向(左上)に+1する必要があり,\ それが\left(0,\ \bunsuu23\pi\right)である. \\[.6zh] \theta=\bunsuu53\pi\,方向に+1するのではないことに注意してほしい. \\[.6zh] 点\left(1,\ \bunsuu53\pi\right)を\,\theta=\bunsuu53\pi\,方向(右下)に+1した点は,\ r=2\cos\theta\ \left(\theta=\bunsuu53\pi\right)に対応する点である.