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直交座標上の2点A$(1,\ 0)$,\ B($-\,1,\ 0$)からの距離の積が常に1であるような \\[.2zh] \hspace{.5zw}\phantom{(1)}\ \ 点Pの軌跡の方程式が$(x^2+y^2)^2=2(x^2-y^2)$となることを示せ. \\[1zh] \hspace{.5zw}(2)\ \ (1)の軌跡の極方程式を求め,\ 概形を図示せよ. \\
レムニスケートの極方程式}}}} \\\\[.5zh] 極方程式{\large $\bm{\textcolor{red}{r^2=a^2\cos2\theta}}$}で表される曲線を\textbf{\textcolor{blue}{レムニスケート}}(連珠形)という. \\\\
始線に関して対称}であは極を通り,\ 始線に垂直な直線に関して対称}である. \\[1zh] \phantom{ (1)}\ \ $0\leqq\theta\leqq\bunsuu{\pi}{2}$で考える. \\[.5zh] 2定点からの距離の和が一定である点の軌跡 → 楕円 \\[.2zh] 2定点からの距離の差が一定である点の軌跡 → 双曲線 \\[.2zh] 2定点からの距離の積が一定である点の軌跡 → レムニスケート \\[.2zh] レムニスケートは極方程式の代表なので,\ 式と概形を覚えておくことが望ましい. \\[1zh] (1)\ \ 直交座標における軌跡の求め方は,\ 一般的な方法と同じである. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ つまり,\ 軌跡上の動点\mathRM{P}を(x,\ y)とし,\ 条件を素直に立式すればよい. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 「積が常に1」を立式すると\mathRM{AP\cdot BP=1}となるが,\ 根号が面倒なのであらかじめ2乗しておく. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 後は2点間の距離の公式を適用した後,\ 目的の形に変形していけばよい. \\[1zh] (2)\ \ 直交座標と極座標の関係式を代入して変形していけばよい. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 2倍角の公式\ \cos2\theta=\cos^2\theta-\sin^2\theta\ を逆に用いることになる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ r^2=0はr^2=2\cos2\theta\,に含まれるから,\ 結局r^2=2\cos2\theta\ だけで済む. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ なお,\ r=\ruizyoukon{2\cos2\theta}\ と答えてもよい.\ 本来は,\ r=\pm\ruizyoukon{2\cos2\theta}\ となる気がする. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ ここで,\ r=\ruizyoukon{2\cos2\theta}\ において\,r\,→\,-\,r,\ \theta\,→\,\theta+\pi\,にしてみよう. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 極座標平面において,\ (r,\ \theta)と(-\,r,\ \theta+\pi)\,は同じ点を表す. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 要するに,\ r=\ruizyoukon{2\cos2\theta}\ とr=-\ruizyoukon{2\cos2\theta}\ は同一曲線なので,\ \pm\,とする必要はないのである. \\[1zh] \phantom{(1)}\ \ 図示するときは,\ まずは対称性を確認する.\ 概形を覚えていれば当然の行動だろう. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ さらに,\ \bm{r^2\geqq0であることに着目}すると,\ より範囲を限定できる.
\phantom{(1)}\ \ この範囲で\cos2\theta\geqq0となるのは0\leqq2\theta\leqq\bunsuu{\pi}{2},\ つまり0\leqq\theta\leqq\bunsuu{\pi}{4}\,のときである. \\[.8zh] \phantom{(1)}\ \ \bunsuu{\pi}{4}<\theta\leqq\bunsuu{\pi}{2}\,のときはr^2<0となり,\ このような実数rは存在しない. \\[.6zh] \phantom{(1)}\ \ 実数rが存在しないことは平面上に点が存在しないことであるから,\ 考慮する必要はない. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ こうして,\ r^2=a^2\cos2\theta\,は半径aの円に内接するような曲線となる.