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次の媒介変数表示が表す曲線を答えよ. \\[1zh] {放物線の媒介変数表示
2倍角の公式\ \cos2\theta=1-2\sin^2\theta\ を適用すると,\ \sin\theta\,を消去できる. \\[.2zh] 注意すべきは,\ 媒介変数を消去しただけで終えてはならないことである. \\[.2zh] 一般に,\ \bm{媒介変数を消去して求まる曲線は,\ 必要条件であって十分条件ではない.} \\[.2zh] つまり,\ \bm{求める曲線が媒介変数を消去して求まる曲線のすべてとは限らない}(一部の可能性がある). \\[.2zh] そこで,\ \bm{xやyの変域を確認する}ことになる. \\[.2zh] 本問の場合,\ yがxの関数(xに対してyがただ1つに定まる)なので,\ xの変域のみ確認すればよい.
\sin\theta,\ \cos\theta\,の和と積が和を2乗することで結びつくことを利用して\,\theta\,を消去する. \\[.2zh] 本問はxがyの関数(yに対してxがただ1つに定まる)なので,\ yの変域のみ確認すればよい. \\[.2zh] yは角が等しい\,\sin\,と\,\cos\,の1次の和であるから,\ 三角関数の合成によって変域を求める.
このとき,\ 単位円より\ 半径2の円の上半分であり,\ 0\leqq y\leqq2である.
x,\ yは\bm{tと\,\bunsuu4t\,の対称式}であり,\ t+\bunsuu4t\,のみで表せることを利用してtを消去する. \\[.8zh] yがxの関数なのでxの変域を求めることになるが,\ これが厄介である. \\[.2zh] t+\bunsuu4t\,を見て,\ 相加相乗a+b\geqq2\ruizyoukon{ab}\ (a>0,\ b>0)\ の利用が思い浮かぶかもしれない. \\[.6zh] 確かに,\ t>0のとき,\ x=t+\bunsuu4t-1\geqq2\ruizyoukon{t\cdot\bunsuu4t}-1=3\ とできる. \\[.8zh] また,\ t<0のとき,\ -\,x=(-\,t)+\left(-\bunsuu4t\right)+1\geqq2\ruizyoukon{(-\,t)\cdot\left(-\bunsuu4t\right)}+1=5より,\ x\leqq-\,5とできる. \\[1zh] しかし,\ 相加相乗では,\ 3以上はいえても\bm{3以上のすべての値をとることまではいえない}のである. \\[.2zh] もしかすると実際には10\leqq x\leqq100かもしれない.\ ここに相加相乗の限界がある. \\[.2zh] 結局相加相乗は使えず,\ \bm{逆像法}という高度な考え方が必要になる. \\[.2zh] x=t+\bunsuu4t-1\,において,\ 実数t\ (\neqq0)が与えられて初めてxが定まる. \\[.6zh] 逆に言えば,\ \bm{変域内のxには対応する実数t\,(\neqq0)が存在する}はずである. \\[.2zh] つまり,\ xの変域を求めることは,\ 実数t\,(\neqq0)が存在するためのxの範囲を求めることに等しい. \\[.2zh] 分母をはらうとtの2次方程式となるから,\ 実数tの存在条件をD\geqq0として求められる. \\[.2zh] t^2-(x+1)t+4=0においてt=0とすると4=0となり矛盾するから,\ 自動的にt\neqq0である. \\[.2zh] なお,\ 数\text{I\hspace{-.1em}I\hspace{-.1em}I}の微分まで学習済みならば,\ x=t+\bunsuu4t-1のグラフを図示して考えることもできる.