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中心が極O,\ 半径が$\bm{a}$の円}} & {\large $\bm{\textcolor{red}{r=a}}$} \\[1zh] [2]\ \ \textbf{\textcolor{blue}{極Oを通り,\ 中心がA$\bm{(a,\ \alpha)}$の円}}
円の極方程式として本質的に重要なのは2パターンである. \\[1zh] [1]\ \ rが一定ならば,\ 極\text Oを中心とする円を表す.\ \ \theta\,は任意の値である. \\[1zh] [2]\ \ 中心の極座標が(a,\ \alpha)ならば,\ 極\text Oと\text B(2a,\ \alpha)を直径とする円である. \\[.2zh] \phantom{[1]}\ \ 直径に対する円周角が90\Deg\,であることに着目する. \\[.2zh] \phantom{[1]}\ \ \triangle\mathRM{OBPに対して OP=OB\cos\angle BOP=2OA\cos(\theta-\alpha)} \\[.2zh] \phantom{[1]}\ \ \cos(-\,\theta)=\cos\theta\ より\ \cos(\theta-\alpha)=\cos(\alpha-\theta)\ であるから,\ \theta\,と\,\alpha\,の大小関係は影響しない. \\[.2zh] \phantom{[1]}\ \ やはり,\ 公式として暗記するのではなく,\ \bm{自分で図を描いて導けるか}が重要である.
次の円の極方程式を求めよ. \\[1zh] \hspace{.5zw} (1)\ \ 極Oを中心とする半径2の円 \\[.8zh] \hspace{.5zw} (2)\ \ 極Oを通り,\ 中心(3,\ 0)の円 \\[.8zh] \hspace{.5zw} (3)\ \ 極Oを通り,\ 中心$\left(2,\ \bunsuu{\pi}{2}\right)$の円 \\[.8zh] \hspace{.5zw} (4)\ \ 極Oを通り,\ 中心$\left(2,\ \bunsuu{\pi}{3}\right)$の円 \\[.8zh] \hspace{.5zw} (5)\ \ 中心がA$\left(2,\ \bunsuu{\pi}{6}\right)$,\ 半径1の円 \\[.8zh] \hspace{.5zw} (6)\ \ 直交座標の方程式\ \ $x^2+y^2=9x$
(2)\ \ 図より明らかだろう.\ r=2a\cos(\theta-\alpha)においてa=3,\ \alpha=0の場合に相当する. \\[1zh] (3)\ \ 図を描き,\ 接弦定理より\ \mathRM{\angle XOP=\angle OBP}\ であることに着目すると素早く導ける. \\[.2zh] \phantom{(2)}\ \ r=2a\cos(\theta-\alpha)においてa=2,\ \alpha=\bunsuu{\pi}{2}\,の場合に相当する.\ \cos\hspace{-.2zw}\left(\theta-\bunsuu{\pi}{2}\right)=\sin\theta\ である. \\[1zh] (5)\ \ 極\text Oが円周上にない場合,\ \bm{余弦定理}を利用することになる. \\[.2zh] \phantom{(2)}\ \ そうすると式が一気に複雑になり,\ 極座標のメリットがほぼなくなる. \\[.2zh] \phantom{(2)}\ \ \triangle\mathRM{OAP}に対して余弦定理を適用すると \mathRM{1^2=OP^2+2^2-2\cdot OP\cdot2\cdot\cos\hspace{-.2zw}\left(\theta-\bunsuu{\pi}{6}\right)} \\[1zh] (6)\ \ 直交座標上の方程式は,\ x^2+y^2=r^2,\ \ x=r\cos\theta,\ \ y=r\sin\theta\ によって極方程式に変換できる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 因数分解すると分割できるが,\ r=0はr=9\cos\theta\ の\,\theta=\bunsuu{\pi}{2}\,の場合なのでまとめて答える.
次の円の極方程式を直交座標の方程式で表し,\ 中心の直交座標と半径を求めよ. \\[1zh] (1)\ \ r^2=x^2+y^2,\ x=r\cos\theta,\ y=r\sin\theta\ を適用するため,\ \bm{両辺をr倍する}のがスマートである. \\[1zh] (2)\ \ 両辺をr倍し,\ 加法定理\ \cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta\ を適用する. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 円の極方程式の基本形なので,\ 中心の極座標\left(1,\ \bunsuu{\pi}{6}\right),\ 半径1は変形せずともわかる. \\[1zh] 忘れがちだが,\ 極方程式の問題には\bm{常に直交座標に変換する最終手段がある}ことを意識しておこう.