解答の最初でdx/dtとありますが、dx/dθの誤りですm(_ _)m
媒介変数表示$ x=e^{-θ}cosθ y=e^{-θ}sinθ -(0θ{π}{2})$または極方程式$r=e^{-θ}(0θ{π}{2})$ で表される下図の曲線(対数螺旋)について,\ 次の値を求めよ. 曲線と$x$軸と$y$軸で囲まれた部分の面積$S$ 長さ$L$ ${dx}{dt}=-e^{-θ}cosθ+e^{-θ}(-sinθ)=e^{-θ}(-cosθ-sinθ)$ よって $dx=e^{-θ}(-cosθ-sinθ)dt}$ ${S}=∫ydx}=∫π/2{0}e^{-θ}sinθ e^{-θ}(-cosθ-sinθ)dθ}$ $S=∫0}{π/2e^{-2θ}(sinθcosθ+sin²θ)dθ=∫0}{π/2e^{-2θ}({sin2θ}{2}+{1-cos2θ}{2})dθ$ $S=12∫0}{π/2e^{-2θ}dθ+12∫0}{π/2e^{-2θ}(sin2θ-cos2θ)}dθ$ $S=12[-12e^{-2θ{0}{π/2+12[-12e^{-2θ}sin2θ{0}{π/2=-14(e^{-π}-1)+0={14(1-e^{-π})}$ ${S}=∫0}{π/212r²dθ}=∫0}{π/212e^{-2θ}dθ=[-14e^{-2θ{0}{π/2=-14(e^{-π}-1)={14(1-e^{-π})}$ 普通にx方向に積分すればよく,\ 立式は容易である.\ 一方,\ 積分計算が少々厄介である. sinθcosθ,\ sin²θ\ は2倍角の公式の逆で次数を下げる. 問題は\ e^{-2θ}(sin2θ-cos2θ)\ の積分計算である. 式の形から次に気付けるくらい微積分に慣れているならば,\ その逆を行うだけである. 気付けないならば,\ {(指数関数)(三角関数)型}であるから部分積分することになる.
