円の伸開線の面積と長さ

半径1の円に巻かれた糸をピンと張ったまま$(1,\ 0)$から$(0,\ 1)$までほどいていくとき, 糸の端点の軌跡は媒介変数表示$ x=cosθ+θsinθ y=sinθ-θcosθ -.8zw}(0θ{π}{2})$で与えられ,\ 下図 の赤曲線を描く(円の伸開線).\ 次の値を求めよ.  糸が通過する部分の面積$S$     糸の端点が描く曲線の長さ$L$ {xをy方向に\ [0→1]\ の範囲で積分}すると,\ {曲線とx軸とy軸と直線y=1が囲む面積}が求まる. ここから14円の面積\ {π}{4}\ を引くのが簡潔である. %総合研究%プラチカ55%医学部合格 定積分計算は,\ まず2倍角の公式の逆によって次数を下げる. {(整関数)(三角関数)}\ の形が表れるが,\ これは{部分積分}するパターンである. 通常,\ θ²cos2θ\ を定積分するとき,\ 2回の部分積分が必要になる. しかし,\ 本問では先に\ θsin2θ\ を定積分しておくとその必要がなくなる. {横{π}{2},\ 縦1の長方形から曲線とx軸とx={π}{2}\ が囲む面積と14円の面積を引く}のもよい. 本解と同じになる途中の記述を省略しているので簡潔に感じるが,\ 計算量は同じである. 長さは容易に求まる. 
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