ハイポサイクロイドの面積と長さ

媒介変数表示$ x=2cosθ+cos2θ y=2sinθ-sin2θ -(0θ2π)で表される下図の曲線(ハイポサ$ $イクロイド)について,\ 次の値を求めよ.\ ただし,\ この曲線上のすべての点は原点を中$ $心に\ 23π\ 回転すると曲線上の点に移る.$  囲まれた面積$S$        長さ$L$ {周期性}を生かし,\ 下図のピンク色の部分を3倍して求めるのが簡潔である. ∫-3/2}{3}ydx\ で色塗り部分の面積が求まるので,\ 直角三角形の面積(緑)を引けばよい. 積分は,\ 2倍角の公式の逆と積和の公式を適用して求める. sin2θsinθ=2sin²θcosθ=2sin²θ(sinθ)’\ (微分形接触累乗型)とみて積分すると次になる. {加法定理\ cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ\ の逆}の適用が最大のポイントである. さらに,\ 半角の公式\ sin²{θ}{2}={1-cos2θ}{2}\ の逆を適用して根号をはずす. 周期性を生かして\ 0θ23π\ で考えていれば,\ 絶対値も単純にはずすことができる.
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