エピサイクロイドの面積と長さ

媒介変数表示$ x=3cosθ-cos3θ y=3sinθ-sin3θ -(0θ2π)で表される下図の曲線(エピサイ$ $クロイド)について,\ 次の値を求めよ.$ \  囲まれた面積$S$        長さ$L$ 対称性より,\ {x0,\ y0\ の部分を4倍}すればよい. このとき,\ x方向に積分して求めるのは面倒である. 右図の緑の部分の面積を引く必要が生じるからである. また,\ 極値のx座標を求める必要も生じる. よって,\ y方向に積分して求めるべきである. 積分計算では,\ 2倍角の公式の逆と積和の公式を適用する. {加法定理\ cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ\ の逆}の適用が最大のポイントである. さらに,\ 半角の公式\ sin²{θ}{2}={1-cos2θ}{2}\ の逆を適用して根号をはずす. 対称性を生かして\ 0θ{π}{2}\ で考えていれば,\ 絶対値も単純にはずすことができる.
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