楕円の面積と回転体の体積

方程式\ ${x²}{a²}+{y²}{b²}=1\ (a>0,\ b>0)$で表される楕円について,\ 次の値を求めよ.  囲む面積$S$          $x$軸周りの回転体の体積$V_x$  $y$軸周りの回転体の体積$V_y$ 対称性を生かし,\ 最低限の計算量で求める.\ 面積は\ {x0,\ y0\ の部分を4倍}すればよい. 楕円は陰関数表示だが,\ {陽関数表示(y=の形)}にして普通に定積分計算する. 一般に,\ {楕円の面積は円の面積に帰着}させられることが極めて重要である. つまり,\ {x²の係数を無理矢理にでも根号の外に出す}と,\ {円の面積\ ∫0}{a}{a²-x²}dx\ に帰着}する. 例えば,\ {1-4x²}={4(14-x²)}=2{14-x²}\ といった具合である. 後は14円の面積(下図)として計算すればよく,\ 結局定積分計算せずとも楕円の面積が求まる.           {楕円の面積\ π ab\ は暗記}しておくとよい.\ 特にa=bのときが円であり,\ 円の面積\ π a²\ となる. 回転体の体積は2乗の定積分になるので通常は計算が大変だが,\ 楕円の場合はむしろ楽である. 対称性を考慮し,\ {x0,\ y0\ の部分の回転体を2倍}すればよい. とはa,\ bについて対等なので,\ はのaとbを逆にするだけでもよい. 特にa=bのときが球であり,\ 球の体積\ 43π a³\ となる.
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