リサジュー曲線の面積と回転体の体積

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y²=x²(4-x²)$\ または媒介変数表示$ x=2sinθ y=2sin2θ -(0θ2π)$で表される下図の 曲線(リサジュー曲線)について,\ 次の値を求めよ.  囲まれた面積$S$       $x$軸周りの回転体の体積$V_x$  $y$軸周りの回転体の体積$V_y$  $xを-x,\ yを-yとしても式が変わらない}から,\ x軸とy軸に関して対称}である.$ リサジュー曲線は陰関数表示と媒介変数表示のいずれかが与えられるので両方を示した. %(x²-2)²+y²=4 対称性より,\ x0,\ y0\ の部分を4倍すればよい. 陰関数表示の場合は,\ 陽関数表示にして普通に積分する. 微分形接触累乗型\ ∫{f(x)}^nf'(x)dx=f(x)}^{n+1{n+1}+C\ とみなすのが手っ取り早い. これが難しいならば微分形接触型とみて4-x²=tと置換積分することになる. 媒介変数表示の場合も2倍角の公式を用いると微分形接触累乗型に帰着する. cos²θsinθ=-cos²θ(-sinθ)=-cos²θ(cosθ)’\ と考えるわけである. 積和の公式を用いて\ sin2θcosθ=12(sin3θ+sinθ)\ とするのもよい. 元の式が2乗されているので回転体の体積はむしろ簡単に計算できる. 媒介変数表示の場合はやや面倒になる.\ 2倍角の公式を適用後,\ 微分形接触型を目指して変形する. つまり,\ cosθ\ を1個分離し,\ 残りを\ sinθ\ のみで表せばよい. 一見大変そうだが,\ 実際にやってみると少ない計算量で済む. x²の式が必要であるから,\ x²の2次方程式とみて解の公式を適用する. {x₁=2+{4-y²}\ がy軸から見て上側,x₂=2-{4-y²}\ が下側}を表す. よって,\ 上側の回転体の体積から下側の回転体の体積を引いて求められる(下左図). 公式に当てはめるとうまくまとめることができ,\ ∫0}{a}{a²-x²}dx\ に帰着する. これは円の面積とみて求められる定積分である.\ つまり,\ 右上図の{1/4円の面積}を求めれば済む. y軸周りの回転体の体積なので,\ {円筒分割(バームクーヘン)積分}も可能である. 通常は円筒分割が簡単なのだが,\ 本問は円の面積ではなくなるので余計面倒になってしまう. {a²-x²}を含む定積分の基本通り,\ {x=asinθ\ とおいて置換積分}する. 前にx²がついているせいで円の面積とみて素早く求めることができないのである. 2倍角の公式の逆を2回連続で適用すると積分できる. 媒介変数表示で求める場合は,\ {yとθの対応に注意して置換積分}する. さらに,\ 次のように変形するとうまく1つの定積分にまとめられる. 後は,\ 2倍角の公式の逆を2回使用して定積分すればよい.
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