媒介変数表示$ x=θcosθ y=θsinθ -(0θ{π}{2})$または極方程式$r=θ(0θ{π}{2})$で表 される下図の曲線(アルキメデスの螺旋)について,\ 次の値を求めよ.\ このとき,\ 次を 公式として用いてよい. $∫{x²+a}dx=12{x{x²+a}+alog(x+{x²+a})}+C$} [-.5zh] $曲線とy軸で囲まれた部分の面積S$ 長さ$L$ x方向に積分すると,\ 右図の緑の部分の面積を引く必要が生じる. また,\ 極値のx座標を求める必要も生じる. よって,\ y方向に積分するべきである. 積分計算は,\ まず2倍角の公式の逆で次数を下げる. (整関数)(三角関数)型になるので,\ 部分積分する. やはり,\ 極方程式を用いて扇形分割積分するのが簡潔である. 長さの公式を適用すると,\ 高校数学の中で最高難度の積分パターンに帰着する. 実際にはその計算が本問の最大の山場であるが,\ ここでは省略する. 放物線$y=x²\ (0 x1)$の長さ$L$を求めよ. 長さの公式を適用すると,\ 上の問題と全く同じ型の積分に帰着する. 同様に積分公式を用いるならば,\ このような解答になる.
