媒介変数表示$ x=(1+cosθ)cosθ y=(1+cosθ)sinθ -.7zw}(0θ2π)$\ または\ 極方程式\ $r=1+cosθ$\ で 表される下図の曲線(カージオイド)について,\ 次の値を求めよ. 囲まれた面積$S$ $x$軸周りの回転体の体積$V$ 長さ$L$ 対称性より,\ y0\ の部分を2倍すればよい. 媒介変数表示のまま,\ 置換積分して求める.\ このとき,\ 単純に∫-1/4}{2}ydx\ と考えるのは誤りである. この積分が意味するのは左下図の面積だからである. {上側の部分をy₁,\ 下側の部分をy₂のように分割}し,\ 下のように引いて求めなければならない. [1zh xとθの対応に注意して置換する.\ なお,\ y₁もy₂も式自体は同じで(1+cosθ)sinθ\ である. ここで,\ 被積分関数の-を前に出すと\ {∫0}{2/3π}+∫2/3π}{π\ とできるから,結局\ {∫0}{π\ にまとめられる. 結局こうなるからといって最初から\ ∫0}{π}y{dx}{dθ},dθ\ と記述するのはまずいので注意. cosθの4次式になるので,\ {2倍角・3倍角の公式を逆に用いた次数下げ}によって積分する. あらかじめ2倍角の公式を逆に用いて変形しておくと積分計算が楽になる(別解). ∫sinθsin2θdθ\ は,\ 2倍角の公式を用いると微分形接触累乗型\ ∫{f(x)}^nf'(x)dx\ の形になる. 公式\ ∫{f(x)}^nf'(x)dx=f(x)}^{n+1{n+1}+C\ より,\ 直ちに\ ∫sin²θcosθdθ={sin³θ}{3}+C\ となる. 単純に微分形接触型とみると,\ sinθ=t\ と置換積分することになる. 積和の公式を適用して\ ∫sin2θsinθdθ=-12∫(cos3θ-cosθ)dθ\ と考えてもよい. 極方程式がわかっているならば,\ それを利用できる{扇形分割}による方法が最も簡潔である(別解). 回転体の体積も面積と同様に,\ y₁の回転体からy₂の回転体を引く必要がある. 同様に1つの積分になるので,\ {微分形接触型}を目指し,\ sinθを1個分離して残りをcosθのみで表す. cosθ=t\ とおくと{積分区間が対称な積分}になるので,\ {偶関数・奇関数の性質}を利用する. つまり,\ {∫-a}{a}x^{(奇数)}dx=0,∫-a}{a}x^{(偶数)}dx=2∫0}{a}x^{(偶数)}dx}\ を適用する. 回転体の体積は2倍角の逆で変形すると余計面倒になるので,\ この解法だけ示しておく. 長さはあらかじめ2倍角の公式の逆で変形する方法が簡潔なので,\ それを示した. 途中,\ sin²θ+cos²θ=1,\ sin²2θ+cos²2θ=1\ を適用する. また,\ {加法定理\ cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ\ の逆}を適用する. さらに,\ 半角の公式\ cos²{θ}{2}={1+cosθ}{2}\ の逆を適用して根号をはずせばよい. 長さも\ [0→π]\ の部分を2倍すればよく,\ その範囲では単純に絶対値がはずれる. やはり,\ 極方程式用の長さの公式を用いるのが最も簡潔である(別解).\ 最後は本解と同じ.
