y={e^x+e^{-x{2}\ で表される下図の曲線(カテナリー)について,\ 次の値を求めよ.$ $曲線とx軸,\ y軸,\ 直線x=1で囲む部分の面積S$ $曲線とx軸,\ y軸,\ 直線x=1で囲む部分のx軸周りの回転体の体積V$ 長さ$L\ (0 x1)$ ${S}=∫ydx}=∫{e^x+e^{-x{2}dx=12[e^x-e^{-x{0}{1}={12(e-1e)}$ ${V}=π∫y²dx}=π∫({e^x+e^{-x{2})²dx={π}{4}∫(e^{2x}+e^{-2x}+2)dx$ $V={π}{4}[12e^{2x}-12e^{-2x}+2x}{0}{1}={π}{4}{(12e²-12e^{-2}+2)-(12-12+0)}$ $V=π}{8}(e²-{1}{e²}+4)}$ ${dy}{dx}={e^x-e^{-x{2$ ${1+({dy}{dx})²={1+({e^x-e^{-x{2)²}={1+{e^{2x}-2+e^{-2x{4$ $1+({dy}{dx})²=e^{2x}+2+e^{-2x{4={({e^x+e^{-x{2})²}={e^x+e^{-x{2$ よって ${L}=∫{e^x+e^{-x{2}dx}=12[e^x-e^{-x{0}{1}={12(e-1e)}$ $[l} いずれも公式にあてはめて計算するだけである.\ 長さはうまく根号がはずせる. 結局\ {1+(y’)²}=y\ となるから,\ {長さは面積と一致}する.
