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方程式$2x^2-2xy+y^2=1$で表される下図の曲線について,\ 次の値を求めよ. \\[1zh] \hspace{.5zw} (1)\ \ 曲線で囲まれた部分の面積$S_1$ \\[1zh] \hspace{.5zw} (2)\ \ 曲線と直線$y=\bunsuu{1}{\ruizyoukon2}$が囲む2つの部分のうち,\ $y\geqq\bunsuu{1}{\ruizyoukon2}$の部分の面積$S_2$ \\[1zh] \hspace{.5zw} (3)\ \ $x$軸周りの回転体の体積$V$ \\\\ 本問の曲線は\bm{斜め楕円}である. \\[.2zh] 気付かなくても解けるが,\ 気付いているとかなり見通しがよくなる. \\[.2zh] まず,\ \bm{陽関数表示}(y=の形)にする. \\[.2zh] すると,\ 楕円の上側の部分の式\ y_1\,と下側の部分の式\ y_2\,が求まる. \\[.2zh] 後は普通に\ \dint{-1}{1}(y_1-y_2)\,dx\ を計算すればよい. \\[1zh] 普通の楕円の面積と同様,\ 斜め楕円の面積も\bm{円の面積に帰着}する. \\[.2zh] よって,\ 定積分計算することなく面積が求められる. x方向の積分でもよさそうだが,\ 実際には小さい部分の面積を引く必要が生じ,\ 面倒である(右下図). \\[.2zh] よって,\ \bm{y方向に積分}する.\ x=の形にするとy軸からみて上側の式\ x_1\ と\ 下側の式\ x_2\ が求まる. \\[.2zh] 後は,\ \dint{\frac{1}{\ruizyoukon2}}{\ruizyoukon2}(x_1-x_2)\,dy\ を計算すればよく,\ まとめた式は\bm{円の面積の一部}を意味する(右上図). \\[1.3zh] これは,\ 半径\,\ruizyoukon2,\ 中心角\ \bunsuu{\pi}{3}\ の扇形から直角三角形の面積を引いて求められる(積分計算必要なし). \\\\    (3)\ \ \textcolor{red}{$xを-x,\ yを-y$に変えても式が変わらない}から,\ \textcolor{red}{原点に関して対称}である. \\\\     対称性より,\ \bm{x\geqq0\ の部分の回転体の体積を2倍}すればよい. \\[.2zh] 本問は,\ \bm{図形がx軸をまたぐ場合の回転体の体積}である. \\[.2zh] この場合,\ y\leqq0\,の部分を折り返して重ねた図形を回転させる必要がある. \\[.2zh] 本問ではこの折り返した図形(点線)はy\geqq0\ の部分に完全に含まれる. \\[.2zh] よって,\ 結局は\ y\geqq0\ の部分の回転体の体積を普通に求めればよい. \\[1zh] \pi\dint{0}{1}{y_1}^2\,dx\ で求まるのは,\ 図の緑の部分も含めた回転体の体積である. \\[.5zh] よって,\ 緑の部分の回転体の体積\ \pi\dint{\frac{1}{\ruizyoukon2}}{1}{y_2}^2\,dx\ を引く必要がある. \\[2zh] 2x\ruizyoukon{1-x^2}\,は\bm{微分形接触累乗型}とみて積分する. \\[.2zh] つまり,\ 2x\ruizyoukon{1-x^2}=-(-2x)\ruizyoukon{1-x^2}=-(1-x^2)'(1-x^2)^{\frac12}\ である. \\[.2zh] 後は,\ 公式\ \dint{}{}\{f(x)\}^nf'(x)\,dx=\bunsuu{\{f(x)\}^{n+1}}{n+1}+C\ を適用すればよい. \\[.6zh] これが難しいならば,\ 1-x^2=t\ とおいて置換積分することになる.