解答の最初でdx/dtとありますが、dx/dθの誤りですm(_ _)m

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媒介変数表示$\begin{cases} x=e^{-\theta}\cos\theta \\ y=e^{-\theta}\sin\theta \end{cases}\hspace{-.5zw}\left(0\leqq\theta\leqq\bunsuu{\pi}{2}\right)$または極方程式$r=e^{-\theta}\left(0\leqq\theta\leqq\bunsuu{\pi}{2}\right)$ \\[1zh] \hspace{.5zw}で表される下図の曲線(対数螺旋)について,\ 次の値を求めよ. \\[1zh] \hspace{.5zw} (1)\ \ 曲線と$x$軸と$y$軸で囲まれた部分の面積$S$     (2)\ \ 長さ$L$ \\\\  (1)\ \ $\bunsuu{dx}{dt}=-\,e^{-\theta}\cos\theta+e^{-\theta}(-\sin\theta)=e^{-\theta}(-\cos\theta-\sin\theta)$ \\[.5zh]    よって $\textcolor{cyan}{dx=e^{-\theta}(-\cos\theta-\sin\theta)\,dt}$ \\\\    $\bm{S}=\textcolor{red}{\dint{0}{1}y\,dx}=\dint{\frac{\pi}{2}}{0}e^{-\theta}\sin\theta\cdot \textcolor{cyan}{e^{-\theta}(-\cos\theta-\sin\theta)\,d\theta}$ \\[.5zh]    $\phantom{\bm{S}}=\dint{0}{\frac{\pi}{2}}e^{-2\theta}(\sin\theta\cos\theta+\sin^2\theta)\,d\theta=\dint{0}{\frac{\pi}{2}}e^{-2\theta}\left(\bunsuu{\sin2\theta}{2}+\bunsuu{1-\cos2\theta}{2}\right)d\theta$ \\[.5zh]    $\phantom{\bm{S}}=\bunsuu12\dint{0}{\frac{\pi}{2}}e^{-2\theta}\,d\theta+\bunsuu12\dint{0}{\frac{\pi}{2}}\textcolor[named]{ForestGreen}{e^{-2\theta}(\sin2\theta-\cos2\theta)}\,d\theta$ \\[.5zh]    $\phantom{\bm{S}}=\bunsuu12\teisekibun{-\bunsuu12e^{-2\theta}}{0}{\frac{\pi}{2}}+\bunsuu12\teisekibun{\textcolor[named]{ForestGreen}{-\bunsuu12e^{-2\theta}\sin2\theta}}{0}{\frac{\pi}{2}}=-\bunsuu14(e^{-\pi}-1)+0=\bm{\bunsuu14(1-e^{-\pi})}$ \\\\\\  \betu\ \ $\bm{S}=\textcolor{red}{\dint{0}{\frac{\pi}{2}}\bunsuu12r^2\,d\theta}=\dint{0}{\frac{\pi}{2}}\bunsuu12e^{-2\theta}\,d\theta=\teisekibun{-\bunsuu14e^{-2\theta}}{0}{\frac{\pi}{2}}=-\bunsuu14(e^{-\pi}-1)=\bm{\bunsuu14(1-e^{-\pi})}$ \\\\\\ 普通にx方向に積分すればよく,\ 立式は容易である.\ 一方,\ 積分計算が少々厄介である. \\[.2zh] \sin\theta\cos\theta,\ \sin^2\theta\ は2倍角の公式の逆で次数を下げる. \\[.2zh] 問題は\ e^{-2\theta}(\sin2\theta-\cos2\theta)\ の積分計算である. \\[.2zh] 式の形から次に気付けるくらい微積分に慣れているならば,\ その逆を行うだけである. \\[.2zh] 気付けないならば,\ \bm{(指数関数)\times(三角関数)型}であるから部分積分することになる.