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媒介変数表示$\begin{cases} x=2\cos\theta+\cos2\theta \\ y=2\sin\theta-\sin2\theta \end{cases}\hspace{-.5zw}(0\leqq\theta\leqq2\pi)で表される下図の曲線(ハイポサ$ \\[1zh] \hspace{.5zw}$イクロイド)について,\ 次の値を求めよ.\ ただし,\ この曲線上のすべての点は原点を中$ \\[.2zh] \hspace{.5zw}$心に\ \bunsuu23\pi\ 回転すると曲線上の点に移る.$ \\[1.5zh] \hspace{.5zw} (1)\ \ 囲まれた面積$S$        (2)\ \ 長さ$L$ \\\\ \bm{周期性}を生かし,\ 下図のピンク色の部分を3倍して求めるのが簡潔である. \\[.2zh] \dint{-\frac32}{3}y\,dx\ で色塗り部分の面積が求まるので,\ 直角三角形の面積(緑)を引けばよい. \\[1zh] 積分は,\ 2倍角の公式の逆と積和の公式を適用して求める. \\[.2zh] \sin2\theta\sin\theta=2\sin^2\theta\cos\theta=2\sin^2\theta(\sin\theta)’\ (微分形接触累乗型)とみて積分すると次になる. \\[.2zh] \bm{加法定理\ \cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta\ の逆}の適用が最大のポイントである. \\[.2zh] さらに,\ 半角の公式\ \sin^2\bunsuu{\theta}{2}=\bunsuu{1-\cos2\theta}{2}\ の逆を適用して根号をはずす. \\[.8zh] 周期性を生かして\ 0\leqq\theta\leqq\bunsuu23\pi\ で考えていれば,\ 絶対値も単純にはずすことができる.