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方程式\ $\bunsuu{x^2}{a^2}+\bunsuu{y^2}{b^2}=1\ (a>0,\ b>0)$で表される楕円について,\ 次の値を求めよ. \\[1zh] \hspace{.5zw} (1)\ \ 囲む面積$S$          (2)\ \ $x$軸周りの回転体の体積$V_x$ \\[.5zh] \hspace{.5zw} (3)\ \ $y$軸周りの回転体の体積$V_y$ \\\\ 対称性を生かし,\ 最低限の計算量で求める.\ 面積は\ \bm{x\geqq0,\ y\geqq0\ の部分を4倍}すればよい. \\[.2zh] 楕円は陰関数表示だが,\ \bm{陽関数表示(y=の形)}にして普通に定積分計算する. \\[.2zh] 一般に,\ \bm{楕円の面積は円の面積に帰着}させられることが極めて重要である. \\[.2zh] つまり,\ \bm{x^2\,の係数を無理矢理にでも根号の外に出す}と,\ \bm{円の面積\ \dint{0}{a}\ruizyoukon{a^2-x^2}\,dx\ に帰着}する. \\[.2zh] 例えば,\ \ruizyoukon{1-4x^2}=\ruizyoukon{4\left(\bunsuu14-x^2\right)}=2\ruizyoukon{\bunsuu14-x^2}\ といった具合である. \\[1zh] 後は\,\bunsuu14\,円の面積(下図)として計算すればよく,\ 結局定積分計算せずとも楕円の面積が求まる. \\\\           \bm{楕円の面積\ \pi ab\ は暗記}しておくとよい.\ 特にa=bのときが円であり,\ 円の面積\ \pi a^2\ となる. \\[1zh] 回転体の体積は2乗の定積分になるので通常は計算が大変だが,\ 楕円の場合はむしろ楽である. \\[.2zh] 対称性を考慮し,\ \bm{x\geqq0,\ y\geqq0\ の部分の回転体を2倍}すればよい. \\[.2zh] (2)と(3)はa,\ bについて対等なので,\ (3)は(2)のaとbを逆にするだけでもよい. \\[.5zh] 特にa=bのときが球であり,\ 球の体積\ \bunsuu43\pi a^3\ となる.