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y=\bunsuu{e^x+e^{-x}}{2}\ で表される下図の曲線(カテナリー)について,\ 次の値を求めよ.$ \\[1zh] \hspace{.5zw} (1)\ \ $曲線とx軸,\ y軸,\ 直線x=1で囲む部分の面積S$ \\[.5zh] \hspace{.5zw} (2)\ \ $曲線とx軸,\ y軸,\ 直線x=1で囲む部分のx軸周りの回転体の体積V$ \\[.5zh] \hspace{.5zw} (3)\ \ 長さ$L\ (0\leqq x\leqq1)$ \\\\  (1)\ \ $\bm{S}=\textcolor{red}{\dint{0}{1}y\,dx}=\dint{0}{1}\bunsuu{e^x+e^{-x}}{2}\,dx=\bunsuu12\teisekibun{e^x-e^{-x}}{0}{1}=\bm{\bunsuu12\left(e-\bunsuu1e\right)}$ \\\\\\  (2)\ \ $\bm{V}=\textcolor{red}{\pi\dint{0}{1}y^2\,dx}=\pi\dint{0}{1}\left(\bunsuu{e^x+e^{-x}}{2}\right)^2dx=\bunsuu{\pi}{4}\dint{0}{1}(e^{2x}+e^{-2x}+2)\,dx$ \\[.8zh]    $\phantom{\bm{V}}=\bunsuu{\pi}{4}\teisekibun{\bunsuu12e^{2x}-\bunsuu12e^{-2x}+2x}{0}{1}=\bunsuu{\pi}{4}\left\{\left(\bunsuu12e^2-\bunsuu12e^{-2}+2\right)-\left(\bunsuu12-\bunsuu12+0\right)\right\}$ \\[.8zh]    $\phantom{\bm{V}}=\bm{\bunsuu{\pi}{8}\left(e^2-\bunsuu{1}{e^2}+4\right)}$ \\\\\\  (3)\ \ $\textcolor{cyan}{\bunsuu{dy}{dx}=\bunsuu{e^x-e^{-x}}{2}}$ \\\\    $\textcolor{red}{\ruizyoukon{1+\left(\bunsuu{dy}{dx}\right)^2}}=\ruizyoukon{1+\left(\textcolor{cyan}{\bunsuu{e^x-e^{-x}}{2}}\right)^2}=\ruizyoukon{1+\bunsuu{e^{2x}-2+e^{-2x}}{4}}$ \\[.8zh]    $\phantom{\ruizyoukon{1+\left(\bunsuu{dy}{dx}\right)^2}}=\ruizyoukon{\bunsuu{e^{2x}+2+e^{-2x}}{4}}=\ruizyoukon{\left(\bunsuu{e^x+e^{-x}}{2}\right)^2}=\textcolor{red}{\bunsuu{e^x+e^{-x}}{2}}$ \\\\[1zh]    よって $\bm{L}=\textcolor{red}{\dint{0}{1}\bunsuu{e^x+e^{-x}}{2}\,dx}=\bunsuu12\teisekibun{e^x-e^{-x}}{0}{1}=\bm{\bunsuu12\left(e-\bunsuu1e\right)}$ \\\\\\ \centerline{{\small $\left[\textcolor{brown}{\begin{array}{l} いずれも公式にあてはめて計算するだけである.\ 長さはうまく根号がはずせる. 結局\ \ruizyoukon{1+(y’)^2}=y\ となるから,\ \bm{長さは面積と一致}する. \\[.2zh]