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媒介変数表示$\begin{cases} x=(1+\cos\theta)\cos\theta \\ y=(1+\cos\theta)\sin\theta \end{cases}\hspace{-.7zw}(0\leqq\theta\leqq2\pi)$\ または\ 極方程式\ $r=1+\cos\theta$\ で \\[1zh] \hspace{.5zw}表される下図の曲線(カージオイド)について,\ 次の値を求めよ. \\[1zh] \hspace{.5zw} (1)\ \ 囲まれた面積$S$   (2)\ \ $x$軸周りの回転体の体積$V$   (3)\ \ 長さ$L$ \\\\ 対称性より,\ y\geqq0\ の部分を2倍すればよい. \\[.2zh] 媒介変数表示のまま,\ 置換積分して求める.\ このとき,\ 単純に\,\dint{-\frac14}{2}y\,dx\ と考えるのは誤りである. \\[.2zh] この積分が意味するのは左下図の面積だからである. \\[.2zh] \bm{上側の部分をy_1,\ 下側の部分をy_2\,のように分割}し,\ 下のように引いて求めなければならない. \\[1zh xと\,\theta\,の対応に注意して置換する.\ なお,\ y_1\,もy_2\,も式自体は同じで(1+\cos\theta)\sin\theta\ である. \\[.2zh] ここで,\ 被積分関数の-を前に出すと\ \bm{\dint{0}{\frac23\pi}+\dint{\frac23\pi}{\pi}}\ とできるから,\ \ 結局\ \bm{\dint{0}{\pi}}\ にまとめられる. \\[.1zh] 結局こうなるからといって最初から\ \dint{0}{\pi}y\bunsuu{dx}{d\theta},d\theta\ と記述するのはまずいので注意. \\[1zh] \cos\theta\,の4次式になるので,\ \bm{2倍角・3倍角の公式を逆に用いた次数下げ}によって積分する. \\[.5zh] あらかじめ2倍角の公式を逆に用いて変形しておくと積分計算が楽になる(別解). \\[.2zh] \dint{}{}\sin\theta\sin2\theta\,d\theta\ は,\ 2倍角の公式を用いると微分形接触累乗型\ \dint{}{}\{f(x)\}^nf'(x)\,dx\ の形になる. \\[.5zh] 公式\ \dint{}{}{f(x)}^nf'(x)\,dx=\bunsuu{\{f(x)\}^{n+1}}{n+1}+C\ より,\ 直ちに\ \dint{}{}\sin^2\theta\cos\theta\,d\theta=\bunsuu{\sin^3\theta}{3}+C\ となる. \\[.8zh] 単純に微分形接触型とみると,\ \sin\theta=t\ と置換積分することになる. \\[.2zh] 積和の公式を適用して\ \dint{}{}\sin2\theta\sin\theta\,d\theta=-\bunsuu12\dint{}{}(\cos3\theta-\cos\theta)\,d\theta\ と考えてもよい. \\\\ 極方程式がわかっているならば,\ それを利用できる\bm{扇形分割}による方法が最も簡潔である(別解). 回転体の体積も面積と同様に,\ y_1\,の回転体からy_2\,の回転体を引く必要がある. \\[.2zh] 同様に1つの積分になるので,\ \bm{微分形接触型}を目指し,\ \sin\theta\,を1個分離して残りを\,\cos\theta\,のみで表す. \\[.2zh] \cos\theta=t\ とおくと\bm{積分区間が対称な積分}になるので,\ \bm{偶関数・奇関数の性質}を利用する. \\[.2zh] つまり,\ \bm{\dint{-a}{a}x^{(奇数)}\,dx=0,\ \ \dint{-a}{a}x^{(偶数)}\,dx=2\dint{0}{a}x^{(偶数)}\,dx}\ を適用する. \\[1zh] 回転体の体積は2倍角の逆で変形すると余計面倒になるので,\ この解法だけ示しておく. 長さはあらかじめ2倍角の公式の逆で変形する方法が簡潔なので,\ それを示した. \\[.2zh] 途中,\ \sin^2\theta+\cos^2\theta=1,\ \sin^22\theta+\cos^22\theta=1\ を適用する. \\[.2zh] また,\ \bm{加法定理\ \cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta\ の逆}を適用する. \\[.2zh] さらに,\ 半角の公式\ \cos^2\bunsuu{\theta}{2}=\bunsuu{1+\cos\theta}{2}\ の逆を適用して根号をはずせばよい. \\[.6zh] 長さも\ [0\,→\,\pi]\ の部分を2倍すればよく,\ その範囲では単純に絶対値がはずれる. \\[1zh] やはり,\ 極方程式用の長さの公式を用いるのが最も簡潔である(別解).\ 最後は本解と同じ.