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媒介変数表示$\begin{cases} x=\theta\cos\theta \\ y=\theta\sin\theta \end{cases}\hspace{-.5zw}\left(0\leqq\theta\leqq\bunsuu{\pi}{2}\right)$または極方程式$r=\theta\left(0\leqq\theta\leqq\bunsuu{\pi}{2}\right)$で表 \\[1zh] \hspace{.5zw}される下図の曲線(アルキメデスの螺旋)について,\ 次の値を求めよ.\ このとき,\ 次を \\[.2zh] \hspace{.5zw}公式として用いてよい. \\[1zh] \centerline{$\dint{}{}\ruizyoukon{x^2+a}\,dx=\bunsuu12\{x\ruizyoukon{x^2+a}+a\log(x+\ruizyoukon{x^2+a})\}+C$} \\[-.5zh] \hspace{.5zw} (1)\ \ $曲線とy軸で囲まれた部分の面積S$    (2)\ \ 長さ$L$ \\\\ x方向に積分すると,\ 右図の緑の部分の面積を引く必要が生じる. \\[.2zh] また,\ 極値のx座標を求める必要も生じる. \\[.2zh] よって,\ y方向に積分するべきである. \\[.2zh] 積分計算は,\ まず2倍角の公式の逆で次数を下げる. \\[.2zh] (整関数)\times(三角関数)型になるので,\ 部分積分する. \\[.2zh] やはり,\ 極方程式を用いて扇形分割積分するのが簡潔である. 長さの公式を適用すると,\ 高校数学の中で最高難度の積分パターンに帰着する. \\[.2zh] 実際にはその計算が本問の最大の山場であるが,\ ここでは省略する. \hspace{.5zw}放物線$y=x^2\ (0\leqq x\leqq1)$の長さ$L$を求めよ. \\ 長さの公式を適用すると,\ 上の問題と全く同じ型の積分に帰着する. \\[.2zh] 同様に積分公式を用いるならば,\ このような解答になる.