当ページの内容はハイレベルなので上級者以外は無視してもかまいません。

検索用コード
積の微分法の公式は,\ $\{f(x)g(x)\}’=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$であった. \\[.2zh] これを\textbf{\textcolor{magenta}{$\bm{n}$回微分にまで拡張}}したものが\textbf{\textcolor{blue}{ライプニッツの定理}}である. \\\\
\centerline{\dilutecolor{yellow}{.2}{dy}\colorbox{dy}{\begin{tabular}{l}
2つの関数$f,\ g$が$n$回微分可能で,\ $f^{(0)}=f,\ g^{(0)}=g$であるとする. \\[1zh] $\textcolor{red}{(fg)^{(n)}=\retuwa{k=0}{n}\kumiawase nkf^{(n-k)}g^{(k)}}$ \\[1zh] 数学的帰納法}}] \\[.5zh] [1]\ \ $\textcolor{cyan}{n=1}$のとき $(左辺)=(fg)’=f’g+fg’,\ \ (右辺)=\kumiawase 10f’g+\kumiawase11fg’=f’g+fg’$ \\[.2zh] \phantom{ [1]}\ \ \phantom{$n=1$のとき} よって,\ 与式は成り立つ. \$が成り立つと仮定する. \\が成り立つことを証明する. \\[1zh] \phantom{ (1)}\ \ よって,\ $n=l+1$のときも与式は成り立つ. \\[1zh] \centerline{[1],\ [2]\,より,\ 全ての自然数$n$について与式は成り立つ.} \\\\
ライプニッツの定理は,\ \bm{二項定理と全く同じ形}をしている. \\[.2zh] 二項定理 (a+b)^n=\retuwa{k=0}{n}\kumiawase nka^{n-k}b^k \\[1zh] \phantom{二項定理 (a+b)^n}=\kumiawase n0a^n+\kumiawase n1a^{n-1}b+\kumiawase n2a^{n-2}b^2+\cdots+\kumiawase{n}{n-1}ab^{n-1}+\kumiawase nnb^n \\[.5zh] 非常に美しく覚えやすい公式なので,\ 知識としてもっておくのもよいだろう. \\[.2zh] ごくまれに証明問題が大学入試で出題されるが,\ まあまあ難しい. \\[1zh] 数学的帰納法では通常n=kとして証明を行うが,\ \retuwa{k=0}{n}\,でkが使われているのでここではlを用いた. \\[.4zh] 仮定した式を微分すると,\ f^{(n-k)}g^{(k)}\,の部分が一致する組ができるので,\ それらを組み合わせる. \\[.2zh] その後,\ \bm{二項係数の有名等式\ \kumiawase nr+\kumiawase{n}{r+1}=\kumiawase{n+1}{r+1}}\ を適用するのが最大のポイントである. \\[.2zh] 例えば,\ \kumiawase31+\kumiawase32=\kumiawase42,\ \ \kumiawase64+\kumiawase65=\kumiawase75\ などが成立する. \\[.2zh] 証明すべきかは微妙なところだが,\ 証明できるようにはしておかなければならないので示しておく. \\[.2zh] なお,\ 公式として覚えるだけならば,\ その意味合いを理解しておけば簡単である. \\[.2zh] 「2つの数を足して下に書いていく」というパスカルの三角形の成り立ちそのものを意味している. \\[-1zh] ライプニッツの定理を用いて,\ $y=x^2e^{-x}$と$y=x^2\sin x$の第$n$次導関数を求めよ. \\[.5zh] わかりやすくするため,\ x^2\,をg(x)とみてライプニッツの定理を適用した. \\[.2zh] n\geqq3のとき(x^2)^{(n)}=0であるから,\ 4項目以降は考慮しなくてよい.