媒介変数表示関数の微分法 dy/dx=dy/dt/dx/dt

合成関数の微分法と逆関数の微分法より {dy}{dx}={dy}{dt}{dt}{dx}=dy}{dtdx}{dt [1.3zh] 合成関数の微分法や逆関数の微分法と同様,\ あたかも分数であるかのように扱えることがわかる. ただし,\ {d²y}{dx²}{d²y}{dt²d²x}{dt²\ なので注意が必要である. 第1次導関数は\ {dy}{dx}=(tの式)\ となるが,\ これをxで微分したのが{d²y}{dx²}である. よって,\ 一旦tで微分した後,\ {dt}{dx}を掛けてつじつまを合わせることになる(合成関数の微分法). つまり,\ 合成関数の微分法になることさえ理解していれば,\ 第2次導関数の公式を覚える必要はない. $[l} 本問の関数は,\ 大学入試2大頻出有名曲線の1つのサイクロイドである. 両辺を$x$で微分して  本問の関数は,\ 大学入試2大頻出有名曲線のもう1つのアステロイドである. アステロイドは,\ サイクロイドとは違って陰関数表示が可能である. よって,\ 別解のように陰関数の微分法で求めることも可能である. cosθ=x^{1/3},\ sinθ=y^{1/3}\ とし,\ cos²θ+sin²θ=1を利用するとθを消去できる. {dy^{2/3{dx}={dy^{2/3{dy}{dy}{dx}=23y^{-1/3}{dy}{dx}(合成関数のに微分法) {d²y}{dx²}は-( yx)^{1/3}をxで微分すればよいが,\ yがxの関数であることに注意しなければならない. つまり,\ ( yx)’は商の微分法の扱いとなる. y’を代入して整理していくと,\ 最後にx^{2/3}+y^{2/3}=1\ を適用できる. x=cos³θ,\ y=sin³θとすると本解と一致することも確認しておいてほしい. 本問は,\ 円の媒介変数表示の1つである.\ その知識があれば,\ 別解も可能になる. x²+y²を計算してみるとtが消去できるので,\ 陰関数の微分法で求めることができるようになる. が,\ 実は和積の公式で簡潔になる.
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