高次導関数と数学的帰納法、代表的な第n次導関数

{高次導関数の表現 \第2次導関数{第3次導関数}{第${n}$次導関数(${n4}$)}第${n}$次導関数の求め方 ${y’,\ y”,\ y”’,を実際に求めて,\ y^{(n)}\ を推測}する.}$ ${数学的帰納法}を用いて証明する.}$ $[l} 第n次導関数を\ ({dy}{dx})^n\ や\ {dy^n}{dx^n}\ とは表さないので注意. d}{dx}がxでの微分を意味する記号}なので,\ {d}{dx}({dy}{dx})={d²y}{dx²}, {d}{dx}({d²y}{dx²})={d³y}{dx³}\ となる. 試験では第n次導関数を推測する必要があるが,\ これが意外に厄介である. 代表的な第n次導関数のおおよその形くらいは頭に入れておいたほうがよい. $n$を自然数とするとき,\ 次の関数の第$n$次導関数を求めよ. y^{(n)}=(x^n)^{(n)}\ において,\ 第1次導関数はn=1のときであるから,\ (x^1)’=1となる. 1,\ 2,\ 6,\ 24,のように計算してしまわず,\ 積の形で考えていくと推測しやすくなる. ただ,\ 1,\ 2,\ 6,\ 24,\ 120,\ 720,を見て,\ n!の数列だと気付けるようにはなっておきたい. y^はy⁴ではなく,\ 第4次導関数を表すことに注意してほしい.\ y^{(k)}なども同様である. y’=nx^{n-1},y”=n(n-1)x^{n-2},y”’=n(n-1)(n-2)x^{n-3}\ として推測することもできる. \ 推測は推測にすぎないので,\ 数学的帰納法ですべての自然数で成り立つことを証明することになる. 数学的帰納法は,\ 試験における記述の仕方が重要である. n=kのとき,\ 「が成り立つと仮定する」と簡潔に記述することも可能である. しかし,\ kを代入したときの式を面倒でも書くべきである. 何を仮定したのかが一目瞭然となり,\ 後で仮定を利用するときにわかりやすくなる. さらに,\ 絶対に必要というわけではないが,\ 下線部を記述しておくことが推奨される. 自身の目標を明確にするだけでなく,\ 証明できなかった場合でも部分点をもらえる可能性が残る. 本問の証明は容易である.(x^{k+1})^{(k+1)}は,\ x^{k+1}の第k+1次導関数である. x^{k+1}を普通に1回微分すると第k次導関数に帰着するから,\ ここで仮定を適用すればよい. 以降とは異なり,\ y^{(k)}=(x^k)^{(k)}=k!\ の両辺を微分してy^{(k+1)}を計算といったことはできない. 第n次導関数を推測することが非常に難しい.\ まず,\ 第4次導関数まで求めると元に戻る. そして,\ 最低限おおよその形くらいは覚えており,\ 三角関数の公式に習熟している必要もある. y^{(k+1)}の計算は,\ 仮定したy^{(k)}を微分すればよい.\ {合成関数の微分}になることに注意. 目標の形にするため,\ 三角関数の公式を用いてcos をsin に変換する必要がある.
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