微分の3本柱③:合成関数の微分法 dy/dx=dy/du・du/dx

(3)の解説でu=5x⁴/(3x-1)とするとありますが、当然u=(5x-4)/(3x+1)とするの誤りですm(_ _)m

次の関数を微分せよ. {合成関数の微分法 高校数学の微分法は,\ 3つの公式を基軸として構成されている. 「積の微分法」「商の微分法」の2つと,\ ここで学習する「合成関数の微分法」である. これらのたった3つの方法を習得するだけで,\ ほとんどの関数が微分できてしまうのである. さて,\ 微分計算で最も注意すべきは,\ 公式の${x}$を勝手に置き換えてはいけないことである. 例えば,\ 公式が$(sin x)’=cos x$だからといって,\ $(sin2x)’=cos2x$としてはならない. 今まで「$sin²x+cos²x=1$より$sin²2x+cos²2x=1$」などとできたのとは対照的である. そこで,\ 公式の形でない関数を微分するときは,\ 一旦別の文字で置換して公式の形とみなす. を考える.\ $y=x³$のとき$y’=3x²$だからといって,\ $y’=3(2x²+1)²$とすると間違える. まず,\ $2x²+1=u}$とおくと,\ $y=u³$(公式の形)になるのでこれを微分する. すなわち,\ ${dy}{du}=3u²=3(2x²+1)²$となるが,\ ここで1つ問題が生じる. この問題は,\ $y$を$x$で微分したもの,\ つまり$dy}{dx}を求めなければならない$のである. ところが,\ ${dy}{du}はyをuで微分したものなので,\ {dy}{dx}とは別物である.$ そこで,\ 以下の公式を利用することになる. 要は,\ ${yをuで微分し,\ uをxで微分したものを掛けると,\ yをxで微分したことになる}.}$ 実際に適用してみると,\ 次のようになる. $2x²+1=u}とおくと y=u³$ 実際には,\ 置換せずに置換したとみなして処理するのが原則である. 複雑な問題になったとき,\ いちいち置換していると地獄絵図になる. とにかく,\ 理屈を考えるより,\ 多くの問題演習を積んで慣れてしまうことが重要である. $[l} {dy}{dx}={dy}{du}{du}{dx}\ を見て「なるほど!」と思ったかもしれない. しかし,\ この公式は単純そうに見えて単純ではなく,\ 厳密な証明は高校範囲を超える. 元々,\ dy}{dx}はこれ全体で1つの記号}であり,\ 分数式ではない. 読み方も「ディーエックスぶんのディーワイ」ではなく,\ 「{ディーワイ,\ ディーエックス}」である. ただ,\ 分数式ではないが,\ {多くの場合に分数式とみなして扱える}という点で極めて優れた記号である. 微分法やその記号は,\ ニュートンとライプニッツが独立に発見・発明した. しかし,\ 現在も広く使われているのは,\ {dy}{dx}とするライプニッツの記法の方である. 同時に広く使われているy’,\ y”やf'(x),\ f”(x)は,\ ラグランジュの記法である. ニュートンは,\ 時間tでの微分をy},\ \ddot{y}と表した.\ 時間微分が多い物理では,\ 現在でも普通に使われる. 多少丁寧に記述してみたが,\ y’=12x(2x²+1)²と瞬殺すべきレベルの問題である. 計算ミスしてしまっては元も子もないので,\ 自分の計算力に応じて必要な記述をしてほしい. ただし,\ 先を見据えると,\ いちいち置換することだけはすべきではない. 2つの関数の積なので,\ まず積の微分法の公式\ f(x)g(x)}’=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)}\ を使う. その後に微分しようとすると,\ 合成関数の微分法が必要になる. 最後は,\ {因数分解する方向で整理する.} 本問はy’を計算するだけだが,\ その後にy’=0となるxを求めるのが多くの応用問題の流れである. よって,\ y’=0が求めやすい形を最終的な答えとすることが多い. ただし,\ その形への変形が大変だったり,\ より複雑になる場合は無理して変形する必要はない. また,\ 繰り返しになるが,\ 自分の計算力に応じて余計な記述を減らしていってほしい. 当サイトにおいても,\ 途中過程をここまで丁寧に示すのはこの記事が最初で最後である. と考えて合成関数の微分法の公式を適用する. その後,\ 商の微分法の公式\ {f(x)}{g(x)’={f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}g(x)}²\ を適用する. まず,\ x+(x²+1)³=uと考えて合成関数の微分法の公式を適用する. u’を計算するとき,\ 今度はx²+1=wと考えて合成関数の微分法の公式を適用しなければならない. つまり,\ 本問は2重の合成関数になっている. 今後は,\ 3重,\ 4重の合成関数の微分が当たり前のように出てくる. そのとき,\ いちいち置き換えなどやっていられないことは容易に予想できるだろう. 早い内に置き換えずに微分計算できるようにしておく必要があるのである. 商の微分法の公式\ {1}{g(x)’=-{g'(x)}g(x)}²\ を適用する. g'(x)の計算は,\ 合成関数の微分法の公式を用いることになる. 当然,\ 分子を展開してはならない.\ 約分して完了である. ところで,\ {(1x)’=-{1}{x²\ という微分公式があった(暗記必須). y={1}{(3x²-2)²}\ は,\ y=1xのxを(3x²-2)²で置き換えた形である. よって,\ 商の微分法の公式がなくても,\ (1x)’=-{1}{x²}\ と合成関数の微分法を用いると微分できる. (3x²-2)²=uとおくとy=1uであるから y’=-{1}{u²} u’=-{1}{(3x²-2)²}{(3x-2)²}’ 1}{g(x)’=-{g'(x)}g(x)}²}\ は,\ f(x)}{g(x)’={f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}g(x)}²}\ でf(x)=1としたものであった. しかし,\ そのように考えるよりも,\ {1xにg(x)を合成した関数の微分法}とみるほうが応用が利く. 商の微分法の公式を適用する.\ (2x²-5)²は約分でき,\ 共通因数4x(x²+3)はくくり出せる. }]$
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