高校生・受験生への挑戦状!積分最難問ランダム13題

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最難問とは言っていますが、あくまでも大学入試で誘導なしで出題される可能性があるレベルのものです。いずれも今までに習得した知識の範囲内あるいはその延長線上にある問題で、とんでもないひらめきが必要になるといったようなことはありません。

出題される可能性は低いですが、もし出題されれば多くの受験生は解けないと思われますので大きな差を付けることができるでしょう。

意欲的な学生や難関大学受験生はどうぞ。

問題

解答

(3)、(4)の解答は以下のページで確認。

特殊な置換をする定積分③:√(x2+aa)を含む定積分(高難度)と特殊な置換の根拠

(9)の特に別解3については以下のページにより詳しい解説があるので、解答が理解できなかった場合は確認しておくこと。

線対称性に関する等式を利用する定積分

積分計算演習はここまでです。お疲れ様でした(・∀・)ノシ

分母が因数分解できるので部分分数分解する.\ 分母が2次式ならば分子は1次以下の式である. $つまり,\ {1}{(x+1)(x²-x+1)}={A}{x+1}+{Bx+C}{x²-x+1}\ とおいて部分分数分解する.$ $一般に,\ {(1次式)}{(2次式)}\ は分子が分母の微分型と分子が定数の分数に分割できる.$ これを見越し,\ ${1}{(x+1)(x²-x+1)}={A}{x+1}+{B(2x-1)+C}{x²-x+1}$\ とおくと後が楽になる. ${(定数)}{(2次式)}\ は,\ 2次式のD<0の場合は平方完成すると\ {1}{x²+a²}\ 型(x=atanθ)に帰着する $f(x)={1}{x⁴+x²+1}\ とするとf(-x)=f(x)であるから,\ f(x)は偶関数である.$ $分母は複2次式(ax⁴+bx²+c)の因数分解である.$ $x²=Aの置換で因数分解できることが多いが,\ 本問はこれではできないパターンである.$ $この場合,\ 無理矢理a²-b²の因数分解に帰着させる必要がある.$ $x⁴+1ができるように2乗の形を作った後,\ つじつまを合わせればよい.$ 後は部分分数分解して前問と同様に計算する. $x³{x²+1},x⁵{x²+1}\ のように,\ x^{奇数}{x²+1}などは微分形接触型である.$ $x(x²)^{整数}{x²+1}\ と変形できるからである.\ さて,\ 本問はx^{-1}{x²+1}\ と変形できる.$ $実は,\ 奇数が負の場合も微分形接触型と考えることができる.$ $実際,\ x²+1{x}=x²+1{x²} x\ とすると微分形接触型になる.$ $よって,\ 根号丸ごと置換が有効なのである.\ 置換後は,\ 分子の次数下げと部分分数分解である.$ と置換するとtのみの積分に帰着する.$ ${1-x}{1+x}=t² → x={1-t²}{1+t²}  ({1-t²}{1+t²})'={-2t(t²+1)-(1-t²)2t}{(t²+1)²}=-{4t}{(t²+1)²}$ $置換により,\ {1}{x²+a²}\ 型の積分に帰着する.\ $ $分子を有理化し,\ {a²-x²}\ 型に帰着させる別解もある.$ $∫{1}{cos x}dx\ の解法にならい,\ 分母分子にcos xを掛けることで微分形接触型に帰着させる.$ $分母の因数に累乗がある場合,\ その因数の1次から最高次までを全て分母として分解する.$ $xf(x)型は,\ f(x)の原始関数がわかれば部分積分が可能になる.$ $まずe^xsin2xを積分する.\ e^{mx}sin nx型は2階部分積分して同型を出現させるのであった.$ $ただし,\ 本問ではsinとcosのペアを作り,\ 微分から逆算する方が効果的である.$ $後にe^xsin2x,\ e^xcos2xの両方を積分することになるからである.$ $下準備が終われば,\ 後は普通に部分積分するだけである.$ $誘導される場合や応用性も考慮すると,\ 全ての解法が重要であり,\ 習得する価値がある.$ $単純に答えを求めるだけなら,\ 分子を分母と相性がよい形に変形する本解が速い.$ $本質的に同じだが,\ IとJのペアで考えるのもよい.\ 同時にJも求まる(別解1).$ $合成して分母を1つに→置換→加法定理で分解(別解2)$ $I=Jであることと,\ I+Jが容易に求まることを利用する(別解3).$ $tan x2=t\ とおく最終手段もあるが,\ 膨大な計算を要するので試験では避けるべきである.$ $分母分子をcos²xで割ると,\ 微分形接触型f(tan x){1}{cos²x}\ となる.$ $仮にそのことに気付けなくても,\ 次のより根本的な知識を活用すると同様に解ける.$ $sin²x,\ cos²x,\ tan xからなる関数は,\ tan x=t\ とおくとtのみの積分に帰着する.$ $2倍角の公式の逆で分母をまとめた後,\ 微分形接触型f(tan x){1}{cos²x}\ に変形する.$ もしこの解法に気付けない場合はの置換を行えばよい.\ 本質的には同じである. $単独のlogは,\ 1logとみて部分積分するのが基本である.$ $分数関数の積分となり,\ 分子の次数下げるとx=tanθに置換する定積分に帰着する.
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