三角関数の積分ランダム18題(標準レベル)

問題

解答

(11)~(13)の解答は以下のページで確認。

(11) 三角関数の積分⑤:∫1/sinxdx、∫1/cosxdx

(12) 三角関数の積分⑥:∫1/(1±cosx)dx、∫1/(1±sinx)dx

(13) 三角関数の積分⑦:∫√(1±cosx)dx、∫√(1±sinx)dx

積分自体は単純な1次式置換型だが,\ 代入後の計算が少し厄介である. $ここでは,\ 和積公式\ cos A-cos B=-2sin{A+B}{2}sin{A-B}{2}\ を利用した.$ 加法定理で$ 異なる角の三角関数の積は次数を下げる.\ 3つの積である本問は,\ 二段階で次数を下げる. $積和公式および2倍角の公式\ sin2x=2sin xcos x\ の逆を用いる.$ 別解は,\ 2倍角の公式と3倍角の公式を用いて微分形接触型に変形するものである. $sin x=tでもよいが,\ 微分形接触累乗型とみるとよい.  $sin⁴x,\ cos⁴xは2倍角の公式の逆を2回用いて次数を1次にする.$ $cos2x=2cos²x-1=1-2sin²x$ 別解のように多少技巧的な変形をしても結局同じ式に帰着する. $sin2x=2sin xcos x\ の逆$ $公式\ 1+tan²x={1}{cos²x}\ によって微分形接触型\ f(tan x){1}{cos²x}\ に帰着する.$ $tan x\ と\ {1}{cos²x}\ は相性がよいので,\ 常に相互変換に意識しておく必要がある.$ $tan xは\ {sin x}{cos x}\ と考えると分子が分母の微分型である.$ $別解のように,\ 微分形接触型\ f(cos x)sin x\ を目指して変形してもよい.$ $2倍角の公式\ sin2x=2sin xcos x\ を適用すると\ x^msin nx\ 型に帰着する.$ $x^msin nx型は,\ sin nxを微分形とみて部分積分する.\ xが2乗の場合,\ 部分積分を2回行う.$ $とりあえずlog x=t\ とおく.\ さらに2倍角の公式の逆で次数を下げる.$ $e^{mx}cos nx型に帰着するので,\ 2回部分積分すると同型が出現することを利用して求める.$ $対数の定義\ a^p=Mp=log_aM\ より,\ a^{log_aM}=M\ が成り立つ.  分子が分母の微分型であることに気付きたい. 仮に気付けなくても,\ 容易に微分形接触型に変形して求められる(別解). \によって部分積分できる型に帰着する.
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