無理関数① y=x+√(1-x²) のグラフ(斜め楕円)

スポンサーリンク
まずは定義域を確認する.\ 無理関数では,\ (0以上)\ である.\ 対称性はない. 微分計算では,\ ( x)’={1}{2 x}\ を公式として利用するのは常識である. f'(x)=0は,\ 通分して(分子)=0として求めるが,\ 根号があるので単純にはいかない. {1-x²}=x\ として2乗すると 1-x²=x² 2x²=1より\ x={1}{2}   を満たすのは\ x={1}{2} 両辺を2乗すると同値性が崩れるので,\ 元の式を満たすかを確認したわけである. f'(x)の符号は常に(分母)={1-x²}>0\ より,\ 分子だけで決まる. f”(x)は,\ f'(x)=1-{x}1-x²\ を微分して求める. また,\ 常に1-x²>0\ より,\ 符号は常にf”(x)<0である. さて,\ 本問では{区間の端における傾きf'(x)}も重要であり,\ 確認しておくのがよい(必須ではない). f'(-1)とf'は存在しないため,\ {x→1-0とx→-1+0の片側極限}の計算になる. すると,\ f'(x)→±∞ であるとわかる.\ これも増減表に入れておいた. {傾きf'(x)が∞ ということは,\ 接線がy軸と平行になる}ということである. グラフを図示するときは,\ まず端点と極大と座標軸との交点の5点をとる. x軸との交点はx+{1-x²}=0の計算である. -x={1-x²}として両辺を2乗した後整理すると 2x²=1 よってx={1}{2}となるが,\ x+{1-x²}=0を満たすのはx=-{1}{2}である. {端点における接線がy軸と平行となる}ことを意識しつつ,\ グラフを図示する. さて,\ y=x+{1-x²}\ より y-x={1-x²}  ({1-x²}0より\ y x) 両辺を2乗して整理すると,\ 陰関数\ 2x²-2xy+y²-1=0である. 逆に,\ この陰関数をyについて解くと,\ y=x{1-x²} y=x+{1-x²}\ は,\ のy xの部分だったのである. 上図では,\ y=x-{1-x²}\ (y x)\ とy=xのグラフも図示した. 図からわかるように,\ 実はは{斜め楕円}であり,\ 本問はその一部(y xの部分)だったわけである. このような背景があるため,\ この無理関数のグラフは頻出する. より一般にy=ax{b²-x²}\ を見たときは,\ 斜め楕円の一部だと気付いてほしい. なお,\ y=xとy={1-x²}\ の和と考えて,\ 概形を予想することもできる. y={1-x²}\ は変形するとx²+y²=1\ (y0)であるから,\ 半径1の円の上半分である. これとy=xをy方向に足し合わせた点をいくつかとると下図のようになる.
タイトルとURLをコピーしました