(指数関数)×(三角関数) y=e-xsinx のグラフ(減衰曲線)

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三角関数の合成により\ sin x-cos x=sin(x-{π}{4})=0 0 x{π}{4}より-{π}{4} x-{π}{4}4π-{π}{4} x-{π}{4}=0,\ π,\ 2π,\ 3πよりx={π}{4},\ 54π,\ 94π,\ {13}{4}π f'(x)の符号は,\ e^{-x}>0より,\ -(sin x-cos x)だけで決まる. f”(x)の符号は,\ e^{-x}>0より,\ -2cos xだけで決まる. 増減表の作成は難しくないが,\ グラフの図示は思いの外厄介である. このグラフが sin xがy=e^{-x}とy=-e^{-x}の間に挟まれたような形になることは暗記しておく. y=e^{-x}cos x,\ y=e^xsin x,\ y=e^xcos xの概形も同様である. 図示のときに問題なるのは,\ y=e^{-x}のx軸への漸近の度合いが極めて強いことである. 完全に正確な縮尺におけるグラフを下に示した. xπ ではほぼx軸と一致してしまい,\ 最初の極小さえわからない. 最初の極大値f({π}{4})0.3に対し,\ 最初の極小値はf(54π)-0.01である. 結局,\ 他のグラフのように点をとってから曲線を描くことが困難である. そこで,\ {暗記していたグラフの概形を先に描き,\ 後から適当に点をとる}とよい. 上図の目盛りを見てわかるように,\ 単純に拡大・縮小というものでもない. そもそもこれを正確に図示させる問題は出ないので,\ 概形が描ければ十分である. 理論上単振動する運動でも,\ 空気抵抗等によって実際には徐々に振幅が減っていく. この運動を減衰振動といい,\ このときの曲線を{減衰曲線}という. 一番下の図は,\ -2π x9π の概念図である.
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