2つの仮定を要する数学的帰納法である。出題頻度が高いわけではないが、出題された場合には経験がないと解けないだろう。理解したうえで問題ごとパターンとして覚えておこう。

前1つを仮定する普通の数学的帰納法を「昨日法」と考え、前2つを仮定するこの数学的帰納法を、「おととい帰納法」と呼ぶ人もいる。

two-assumption

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a,\ bを正の整数とする.\ 2次方程式\ x^2-ax+b=0\ の2つの実数解を$ \\[.2zh] \hspace{.5zw}$\alpha,\ \beta\ とするとき,\ 全ての自然数nについて,\ \alpha^n+\beta^n\ が整数となること$ \\[.2zh] 解と係数の関係より\beta^{k+2}\ 仮定\ \textcolor{cyan}{\alpha^k+\beta^k,\ \alpha^{k+1}+\beta^{k+1}\ が整数}より,\ \textcolor{red}{\alpha^{k+2}+\beta^{k+2}\ も整数}である.$ \\[.2zh] \phantom{ $[1]$}\ $よって,\ \textcolor{magenta}{n=k+2\ のときも,\ \alpha^n+\beta^n\ は整数である.}$ \\\\ \centerline{$\textcolor{magenta}{[1],\ [2]より,\ 全ての自然数nについて,\ \alpha^n+\beta^n\ は整数である.}$} \\\\[.5zh] 例として,\ \alpha^5+\beta^5\ を\ \alpha^4+\beta^4\ で表そう. \\ 通常の対称式の変形のように,\ \alpha+\beta\ と組合せ,\ 余計なものを引くと考える. \\ つまり,\ \bm{1つ前だけではなく,\ 2つ前も必要}なのである. \\ よって,\ \bm{前2つを仮定する数学的帰納法を適用}することになる. \\[1zh] k-1とkを仮定するとk-1\geqq1,\ つまりk\geqq2とする必要があり面倒である. \\ 結局,\ 次の数学的帰納法を利用する. \\[1zh] \text{[1]}\ \bm{P(1),\ P(2)が成立することを示す.} \\[.2zh] \text{[2]}\ \bm{P(k),\ P(k+1)が成立することを仮定し,\ P(k+2)が成立することを示す.} \\[1zh] 前のドミノ2つ分の重みがなければ倒せないドミノなわけである. \\[1zh] n=1,\ 2\ のときは,\ 解と係数の関係を用いて整数であることが示される. \\ ax^2+bx+c=0\ の2解を\ \alpha,\ \beta\ とするとき \bm{\alpha+\beta=-\bunsuu ba,\ \ \alpha\beta=\bunsuu ca} \\[1zh] \bm{\alpha^{k+2}+\beta^{k+2}=(\alpha^{k+1}+\beta^{k+1})(\alpha+\beta)-\alpha\beta(\alpha^k+\beta^k)}\ \ は暗記推奨. \\[1zh] 本問において,\ 試しに\ a=4,\ b=1\ とすると,\ 2解は x=2\pm\ruizyoukon{3} \\ よって本問から,\ (2+\ruizyoukon3)^n+(2-\ruizyoukon3)^n\ が整数だとわかる. \hspace{.5zw}$x=t+\bunsuu1t,\ \ P_n=t^n+\bunsuu{1}{t^n}\ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)\ とおくとき,\ P_n\ はxの$ \\[.2zh] \hspace{.5zw}$n次式になることを示せ.                [香川大]$ \\ \phantom{ $[1]$}\ $\textcolor[named]{ForestGreen}{n=2}\ のとき P_2=t^2+\bunsuu{1}{t^2}=\left(t+\bunsuu1t\right)^2-2=\textcolor{red}{x^2-2}$ \\[.5zh] \phantom{ $[1]$}\ $よって,\ n=1,\ 2\ のとき,\ \maru1は成立する.$ \\\\\\  $[2]\ \textcolor[named]{ForestGreen}{n=k,\ k+1}\ のとき$ \\[.5zh] \phantom{ $[1]$}\ $ \textcolor{magenta}{\maru1の成立を仮定}する.$ \\[.2zh] \phantom{ $[1]$}\ $ このとき,\ \textcolor{cyan}{P_k\ はxのk次式,\ \ P_{k+1}はxの(k+1)次式である.}$ \\\\ \phantom{ $[1]$}\ $\phantom{ P_{k+2}}=\textcolor{cyan}{P_{k+1}}x-\textcolor{cyan}{P_k}$ \\[1zh] \phantom{ $[1]$}\ $仮定\ \textcolor{cyan}{P_{k+1}はxの(k+1)次式}より,\ \textcolor{red}{P_{k+1}xはxの(k+2)次式}である.$ \\[.2zh] \phantom{ $[1]$}\ $仮定\ \textcolor{cyan}{P_kはxのk次式}も考慮すると,\ \textcolor{red}{P_{k+2}はxの(k+2)次式}である.$ \\[.2zh] \phantom{ $[1]$}\ $よって,\ \textcolor{magenta}{n=k+2\ のときも,\ \maru1は成立する.}$ \\\\ \centerline{$\textcolor{magenta}{[1],\ [2]より,\ 全ての自然数nに対して,\ \maru1は成立する.}$} \\\\[.5zh] 先の問題とほぼ同じ要領で証明できる. 後は,\ 次数について成立していることを示せばよい.