n≦kのときを仮定する数学的帰納法

前全ての仮定を要する数学的帰納法である。今までの全てを仮定するこの数学的帰納法を、過去の人生全てと考え、「人生帰納法」と呼ぶ人もいる。

正の項からなる数列a_n}が,\ 全ての自然数nに対して次の等式を満たすとき,\ 一般$ $項a_nを求めよ.$ $  (a₁+a₂+a₃++a_n)²={a₁³+{a₂³+{a₃³++{a_n³$ m{n kを仮定する数学的帰納法}$} $ゆえに a₃>0 より \と推測できる.を数学的帰納法で証明する.$ $n=1}\ のとき 上と同様にして,\ が成立することが示される.$ $n k}\ のとき が成立すると仮定}するとn=k+1\ のときもは成立する.}$ ${,\ より,\ すべての自然数nに対しては成立する.}$ 普通に一般項を求めようとしても無理があるので,\ {小さいnから具体的に求め,\ 一般項を推測する.} a₃あたりで一般項が推測できるが,\ 同時に次に気付けるかが重要である. {a_nを求めるとき,\ a₁からa_{n-1}までがすべて必要になる.} つまり,\ a₂を求めるにはa₁が,\ a₃を求めるにはa₁とa₂が必要になる. 同様に考えていくと,\ a₄を求めるにはa₁,\ a₂,\ a₃がすべて必要になるだろう. 推測した一般項は証明する必要があるわけだが,\ それは{a_{k+1}を求める}ことである. {a_{k+1}を求めるには,\ a₁からa_kまでがすべて必要になる}はずである. 結局,\ 以下の型の数学的帰納法を利用する. }{P\ が成立することを示す.} }{P,\ P,\ ,\ P(k)\ が成立すると仮定し,\ P(k+1)が成立することを示す.} 前にあるすべてのドミノの重みがなければ倒せないドミノなわけである. どんどん大きくなっていくようなドミノをイメージすればよい. a_{k+1}を求めるため,\ n=k+1のときの等式を作成後,\ 仮定を全て適用する. つまり,\ {a₁=1,\ a₂=2,\ ,\ a_k=k\ を全て代入}する. すると,\ {Σ公式}の形が表れるので適用する. 1+2+3++k=Σi=1}{k}i=12k(k+1) 1³+2³+3³++k³=Σi=1}{k}i³={12k(k+1)}² 一旦展開して整理した後因数分解すると,\ 目標の\ a_{k+1}=k+1\ が得られる. 結局,\ (1+2+3++n)²=1³+2³+3³++n³が示されたことになる.
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