検索用コード
{定義域を確認する.}}\ 特に,\ \maru1\,~\,\maru3には頻出である. \\[1zh] 定義域がわからなければ,\ 増減表を作ることもできない. \\[.2zh] \phantom{ $[1]$}\ \ 後回しにすると忘れてしまうので,\ \textbf{\textcolor{Purple}{一番最初に確認する}}癖をつけておく. \\\\\\
$[2]$\ \ \textbf{\textcolor{blue}{対称性・周期性を確認する.}}\ 陽関数では,\ \textbf{\textcolor{magenta}{偶関数・奇関数}}が重要である. \\[1zh] ならば \textcolor{red}{偶関数}\ (\textcolor{red}{y軸対称}) \\
\textcolor{cyan}{f(-x)=-f(x)} & ならば \textcolor{red}{奇関数}\ (\textcolor{red}{原点対称})
\end{cases}}$} \\\\
\phantom{ $[1]$}\ \ 絶対的に必要なわけではないが,\ 計算量や作成時間に雲泥の差が生まれる. \\[.2zh] \phantom{ $[1]$}\ \ 余計な計算や記述をしなければ,\ 時間に余裕ができ,\ ミスのリスクも減る. \\[.2zh] \phantom{ $[1]$}\ \ 結果が予想しやすくなることで,\ 見通しもよくなる. \\\\\\
$[3]$\ \ \textbf{\textcolor{blue}{微分計算により,\ $\bm{y’\,やy”}$を求める.}}\ そのときのポイントを列挙する. \\[1zh] \phantom{ $[1]$}\ \ 当然だが,\ \textbf{\textcolor{Purple}{最大級の慎重さ}}を持って計算する.\ ここで間違えると後全滅. \\[.2zh] \phantom{ $[1]$}\ \ まず,\ $y$を微分しやすい形に変形する.\ 例えば,\ $y=\bunsuu{x}{e^x}$ならば$y=xe^{-x}$とする. \\[.5zh] \phantom{ $[1]$}\ \ $y’=0$を求めやすくするため,\ \textbf{\textcolor{red}{通分や因数分解した形にまで変形}}しておく. \\[.2zh] \phantom{ $[1]$}\ \ 例えば,\ $y’=1-\bunsuu{1}{(x-1)^2}$ならば$y’=\bunsuu{x(x-2)}{(x-1)^2}$まで変形しておく. \\[.5zh] \phantom{ $[1]$}\ \ また,\ $y”を計算するとき,\ \bm{\textcolor{red}{y’の式の中で最も微分しやすい形の式を選ぶ.}}$ \\[.2zh] \phantom{ $[1]$}\ \ 例えば,\ $y’=\bunsuu{x(x-2)}{(x-1)^2}$よりも$y’=1-\bunsuu{1}{(x-1)^2}$の方が$y”$を求めやすい. \\[.5zh] \phantom{ $[1]$}\ \ なお,\ $y”$を求める(凹凸を考える)のは必要な場合のみでよい. \\[.2zh] \phantom{ $[1]$}\ \ 一概には言えないが,\ \textcolor[named]{ForestGreen}{「概形を図示」「接線が絡む」問題では凹凸が重要}になる. \\\\\\
$[4]$\ \ \textbf{\textcolor{blue}{$\bm{y’=0,\ y”=0を求め,\ }$増減表を作る.}}\ そのときのポイントを列挙する. \\[1zh] \phantom{ $[1]$}\ \ \maru1\ \ まず,\ $\bm{\textcolor{cyan}{定義域を考慮}}し,\ xの行を作る.\ \bm{\textcolor{cyan}{区間の端も忘れない}}.$ \\
\phantom{ $[1]$}\ \  \ \ また,\ $\bm{\textcolor{magenta}{定義域がx\neqq1ならば,\ x=1も増減表に書き入れる.}}$ \\[1zh] \phantom{ $[1]$}\ \ \maru2\ \ $\bm{\textcolor{ForestGreen}{y,\ y’,\ y”が存在しない部分は,\ 斜線を引く.}}$ \\[1zh] \phantom{ $[1]$}\ \ \maru3\ \ $\bm{y’とy”の行に,\ 0を全て書き入れ,\ 間に+と-を入れていく.}$ \\[.2zh] \phantom{ $[1]$}\ \  \ \ 正負の判断は,\ その区間内の簡単な値を$y’,\ y”に代入してみればよい.$ \\[.2zh] \phantom{ $[1]$}\ \  \ \ このとき,\ \textbf{\textcolor{red}{符号が変化しない部分は無視する}}. \\[.2zh] \phantom{ $[1]$}\ \  \ \ 例えば,\ $y’=\bunsuu{x-2}{(x-1)^2}\ でx<2と2<xの範囲での正負を調べるとしよう.$ \\[.2zh] \phantom{ $[1]$}\ \  \ \ 常に$(x-1)^2\geqq0なので分母は無視してよく,\ 分子x-2の正負さえ調べれば済む.$ \\[.2zh] \phantom{ $[1]$}\ \  \ \ \textbf{\textcolor{Purple}{0を境に正負が変わるとは限らないので,\ 必ず各区間ごとに調べる.}} \\[1zh] \phantom{ $[1]$}\ \ \maru4\ \ $\bm{y’,\ y”の行が埋まれば,\ それに従ってyの行を埋めるだけである.}$ \\[.2zh] \phantom{ $[1]$}\ \  \ \ $\bm{\textcolor{red}{y”>0ならば下に凸,\ y”<0ならば上に凸}}である.$ \\[1zh] y”\,の正負でなぜ凹凸がわかるのかを,\ ここで図形的に簡潔に説明しておく. \\[.2zh] まず,\ y’\,からはyの変化(増減)がわかる. \\[.2zh] つまり,\ y’>0ならばyが増加,\ y'<0ならばyが減少である. \\[.2zh] 同様に考えると,\ y”\,からはy’\,の変化(増減)がわかる. \\[.2zh] y”>0ならばy’\,が増加,\ y”<0ならばy’\,が減少である. \\[.2zh] ここで,\ y’\,は図形的には接線の傾きであった.\ これを踏まえて左図を見て欲しい. \\[.2zh] グラフが下に凸のy=x^2\,では,\ 接線の傾きy’\,(赤字)が増加していくことがわかる. \\[.2zh] よって,\ 「\,y”>0\ \Longleftrightarrow\ 下に凸」とわかる.\ 右図より,\ 「\,y”<0\ \Longleftrightarrow\ 上に凸」もわかる. \\[.2zh] y’>0かつy”<0は,\ 図形的には「yが増加かつyが上に凸」を意味する. \\[.2zh] ゆえに,\ 増減表においてy’\,が+でy”\,が-であるx<0の部分のyのマスには\ \psNEE\ と書き入れる.
\end{array}}\right]$}} \\\\\\\\
$[5]$\ \ $\bm{\textcolor{blue}{極限を調べる.\ また,\ 漸近線があれば求める.}}$\ 漸近線は3種類ある. \\[1zh] \phantom{ $[1]$}\ \ 例えば,\ 増減表の$\psSEE\ だけでは,\ どこまで下にいくかわからない.$ \\[.2zh] \phantom{ $[1]$}\ \ $-\,\infty $までいくかもしれなければ,\ 0までしかいかない可能性もある. \\[.2zh] \phantom{ $[1]$}\ \ よって,\ これを確かめて(極限を求めて)おかなければ,\ 正確なグラフは描けない. \\[.2zh] \phantom{ $[1]$}\ \ このとき,\ 漸近線があれば,\ それも求めることになる. \\\\
\phantom{ $[1]$}\ \ $\maru1\ \ \bm{\textcolor{blue}{x軸に平行な漸近線\ y=a}}$ \\[.5zh] \phantom{ $[1]$}\ \ $ \ \ \bm{\textcolor{cyan}{\dlim{x\to\pm\infty}y=a} ならば \textcolor{red}{y=aが漸近線}}となる.$ \\[{y軸に平行な漸近線\ x=a}}$ \\[.5zh] \phantom{ $[1]$}\ \  \ \ $\bm{次の4つのうち1つでも成り立てば,\ \textcolor{red}{x=aが漸近線}}$となる. x軸ともy軸とも平行でない漸近線\ y=ax+b}}$ \\[.5zh] \phantom{ $[1]$}\ \   $\bm{\textcolor{cyan}{\dlim{x\to\pm\infty}\{y-(ax+b)\}=0}\ \ ならば\ \ \textcolor{red}{y=ax+bが漸近線}}となる.$
\maru1\ \ x\to\pm\,\infty のときyが限りなくaに近づく → y=aが漸近線 \\[1zh] \maru2\ \ x\to a\pm0のとき,\ yが\,\pm\,\infty\,に発散  → x=aが漸近線 \\[.2zh] \ \ \maru2の漸近線は,\ 主に\bm{(分母)\neqq0,\ \ (真数)>0,\ \ \tan\theta\ \left(\theta\neqq\bunsuu{\pi}{2}\right)}が絡む場合に存在する. \\[1zh] \maru3\ \ x\to\pm\infty のとき,\ y-(ax+b)が限りなく0に近づく → y=ax+bが漸近線 \\[.2zh] \ \ \maru3の漸近線は,\ 主に\bm{分数関数(有理関数)と無理関数}に存在する. \\[.2zh] \ \ これ以外の関数に\maru3の漸近線が存在する可能性は低く,\ 指示されない限り調べなくてよい. \\[.2zh] \ \ そもそもa,\ bをどう特定するかが問題だが,\ 分数関数ならばすぐにわかる方法がある. \\[.2zh] \ \ それ以外の関数では,\ 次のようにしてa,\ bを特定する必要が生じる. \\[.2zh] \bm{\dlim{x\to\pm\infty}\bunsuu yx=a, \dlim{x\to\pm\infty}(y-ax)=b} \\[.5zh] \ \ x\to\pm\,\infty\,のとき,\ y\to ax+bならば\,\bunsuu yx=\bunsuu{ax+b}{x}=a+\bunsuu bx\to a\ となるはずだからである.
$[6]$\ \ \textbf{\textcolor{blue}{グラフを図示する.}}\ そのときのポイントを列挙する. \\[1zh] \phantom{ $[1]$}\ \ \maru1\ \ \textbf{増減表を元に全体の構図を予想し,\ \textcolor{red}{適度な大きさで$\bm{xy}$軸を描く.}} \\
\phantom{ $[1]$}\ \  \ \ このとき,\ \textbf{必要があれば,\ \textcolor{red}{縦横の縮尺を変える.}} \\[1zh] \phantom{ $[1]$}\ \ \maru2\ \ \textbf{\textcolor{red}{漸近線,\ 座標軸との交点,\ 極値,\ 変曲点などを描き入れる.}} \\[.2zh] \phantom{ $[1]$}\ \  \ \ $y$軸との交点は原則必須(簡単に求まる),\ 簡単に求まる場合は$x$軸との交点もとる. \\[1zh] \phantom{ $[1]$}\ \ \maru3\ \ \textbf{そのグラフの特徴をアピールするようにグラフを描く.}