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まずは定義域を確認する.\ 無理関数では,\ \bm{\ruizyoukon{(0以上)}}\ である.\ 対称性はない. \\[1zh] f'(x)=0を求める. 2\ruizyoukon{x^2-1}=-\,x\ \cdots\,\maru1\ として両辺を2乗した後整理すると 3x^2=4 \\[.2zh] よって\ x=\pm\bunsuu{2\ruizyoukon3}{3}  \maru1を満たすのは,\ x=-\bunsuu{2\ruizyoukon3}{3} \\[.8zh] 両辺を2乗すると同値性が崩れるので,\ 元の式を満たすかを確認したわけである. \\[.2zh] f'(x)の符号は常に(分母)=\ruizyoukon{x^2-1}>0\ (x<-1,\ 1<x)\ より,\ 分子だけで決まる. \\[.2zh] f”(x)は,\ f'(x)=2+\bunsuu{x}{\ruizyoukon{x^2-1}}\ を微分して求める. \\[.8zh] また,\ 常にx^2-1>0\ (x<-\,1,\ 1<x)より,\ 符号は常にf”(x)<0である. \\[1zh] さて,\ 本問には軸と平行でない漸近線が存在するので求める必要がある. \\[.2zh] 一般に,\ \bm{無理関数ではy=ax+b型の漸近線が存在する可能性がある}ことを覚えておく. \\[.2zh] a,\ bを特定するには,\ \bm{\dlim{x\to\pm\infty}\bunsuu{f(x)}{x}=a,\ \ \dlim{x\to\pm\infty}\{f(x)-ax\}=b}\ とするのであった. \\[.2zh] 本問では\ \dlim{x\to\pm\infty}\bunsuu{f(x)}{x}=\bunsuu{\infty}{\infty}\ (不定形)となるから,\ 分母・分子を分母の最高次の項xで割る. \\[.8zh] このとき,\ x=\ruizyoukon{x^2}\,とは限らないことに要注意である. \\[.2zh] ここで,\ x\to\infty のときはx>0,\ x\to-\,\infty のときはx<0として極限を求めてよい. \\[.2zh] すると,\ x>0のときx=\ruizyoukon{x^2},\ \ x<0のときx=-\ruizyoukon{x^2}\ である. \\[.2zh] なぜなら,\ \ruizyoukon{x^2}=\zettaiti x=\begin{cases} \phantom{-}x & (x\geqq0) \\ -\,x & (x\leqq0) \end{cases}\ だからである. \\\\[-1zh] 紛らわしいので,\ 根号を含む極限計算(x\to-\,\infty)では,\ x=-\,t,\ t\to\infty と置換するのが安全である. \\[.2zh] \dlim{x\to-\infty-\infty の不定形となるので,\ 分子の有理化を行う. \\[1zh] 実は,\ 漸近線を予想するだけならば容易である. 
こう予想し,\ 「\dlim{x\to\infty}\{(2x+\ruizyoukon{x^2-1}\,)-3x\}=0よりy=3xが漸近線」と書くだけでも十分だろう. \\[1zh] 本問では\bm{区間の端における傾きf'(x)}も重要であり,\ 確認しておくのがよい(必須ではない). \\[.2zh] f'(-\,1)とf'(1)は存在しないため,\ \bm{x\to1+0とx\to-\,1-0の片側極限}の計算になる. \\[.2zh] すると,\ f'(x)\to\pm\,\infty であるとわかる.\ つまり,\ \bm{区間の端では接線がy軸に平行な直線となる.} \\[1zh] グラフを図示するときは,\ 2つの漸近線を書き,\ さらに端点と極大の3点をとる. \\[.2zh] 端点における接線の傾きがy軸と平行となることを意識しつつ,\ グラフを図示する. \\[1zh] さて,\ y=2x+\ruizyoukon{x^2-1}\ より y-2x=\ruizyoukon{x^2-1}  (\ruizyoukon{x^2-1}\geqq0より,\ y\geqq 2x) \\[.2zh] 両辺を2乗して整理すると,\ 陰関数\ 3x^2-4xy+y^2+1=0\ \cdots\,\maru2\ である. \\[.2zh] 逆に,\ この陰関数をyについて解くと y=2x\pm\ruizyoukon{x^2-1} \\
y=2x+\ruizyoukon{x^2-1}\ は,\ \maru2のy\geqq 2xの部分だったのである. \\[.2zh] 上図では,\ y=2x-\ruizyoukon{x^2-1}\ (y\leqq 2x)\ とy=2xのグラフも図示した. \\[.2zh] 実は\maru2は\bm{斜め双曲線}であり,\ 本問はその一部(y\geqq2xの部分)だったわけである. \\[.2zh] このような背景があり,\ さらに漸近線の演習用にも適しているため,\ 重要なグラフである. \\[.2zh] y=ax\pm\ruizyoukon{x^2-b^2}\ を見たときは,\ 斜め双曲線の一部だと気付いてほしい.