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まずは定義域を確認する.\ 無理関数では,\ \bm{\ruizyoukon{(0以上)}}\ である.\ 対称性はない. \\[.2zh] 微分計算では,\ \left(\ruizyoukon x\right)’=\bunsuu{1}{2\ruizyoukon x}\ を公式として利用するのは常識である. \\[1zh] f'(x)=0は,\ 通分して(分子)=0として求めるが,\ 根号があるので単純にはいかない. \\[.2zh] \ruizyoukon{1-x^2}=x\ \cdots\,\maru1として2乗すると 1-x^2=x^2 \\[.2zh] 2x^2=1より\ x=\pm\bunsuu{1}{\ruizyoukon2}   \maru1を満たすのは\ x=\bunsuu{1}{\ruizyoukon2} \\[.8zh] 両辺を2乗すると同値性が崩れるので,\ 元の式を満たすかを確認したわけである. \\[.2zh] f'(x)の符号は常に(分母)=\ruizyoukon{1-x^2}>0\ より,\ 分子だけで決まる. \\[.2zh] f”(x)は,\ f'(x)=1-\bunsuu{x}{\ruizyoukon{1-x^2}}\ を微分して求める. \\[.8zh] また,\ 常に1-x^2>0\ (-\,1<x<1)より,\ 符号は常にf”(x)<0である. \\[1zh] さて,\ 本問では\bm{区間の端における傾きf'(x)}も重要であり,\ 確認しておくのがよい(必須ではない). \\[.2zh] f'(-\,1)とf'(1)は存在しないため,\ \bm{x\to1-0とx\to-\,1+0の片側極限}の計算になる. \\[.2zh] すると,\ f'(x)\to\mp\,\infty であるとわかる.\ これも増減表に入れておいた. \\[.2zh] \bm{傾きf'(x)が\pm\infty ということは,\ 接線がy軸と平行になる}ということである. \\[1zh] グラフを図示するときは,\ まず端点と極大と座標軸との交点の5点をとる. \\[.2zh] x軸との交点はx+\ruizyoukon{1-x^2}=0の計算である. \\[.2zh] -\,x=\ruizyoukon{1-x^2}\,として両辺を2乗した後整理すると 2x^2=1 \\[.2zh] よってx=\pm\bunsuu{1}{\ruizyoukon2}\,となるが,\ x+\ruizyoukon{1-x^2}=0を満たすのはx=-\bunsuu{1}{\ruizyoukon2}\,である. \\[.8zh] \bm{端点における接線がy軸と平行となる}ことを意識しつつ,\ グラフを図示する. \\[1zh] さて,\ y=x+\ruizyoukon{1-x^2}\ より y-x=\ruizyoukon{1-x^2}  (\ruizyoukon{1-x^2}\geqq0より\ y\geqq x) \\[.2zh] 両辺を2乗して整理すると,\ 陰関数\ 2x^2-2xy+y^2-1=0\ \cdots\maru2\ である. \\[.2zh] 逆に,\ この陰関数をyについて解くと,\ y=x\pm\ruizyoukon{1-x^2} \\[.2zh] y=x+\ruizyoukon{1-x^2}\ は,\ \maru2のy\geqq xの部分だったのである. \\[.2zh] 上図では,\ y=x-\ruizyoukon{1-x^2}\ (y\leqq x)\ とy=xのグラフも図示した. \\[.2zh] 図からわかるように,\ 実は\maru2は\bm{斜め楕円}であり,\ 本問はその一部(y\geqq xの部分)だったわけである. \\[.2zh] このような背景があるため,\ この無理関数のグラフは頻出する. \\[.2zh] より一般にy=ax\pm\ruizyoukon{b^2-x^2}\ を見たときは,\ 斜め楕円の一部だと気付いてほしい. \\[1zh] なお,\ y=xとy=\ruizyoukon{1-x^2}\ の和と考えて,\ 概形を予想することもできる. \\[.2zh] y=\ruizyoukon{1-x^2}\ は変形するとx^2+y^2=1\ (y\geqq0)であるから,\ 半径1の円の上半分である. \\[.2zh] これとy=xをy方向に足し合わせた点をいくつかとると下図のようになる.