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まず定義域を確認する.\ 全ての実数なので,\ 記述の必要はない. \\[.2zh] f(-\,x)=\bunsuu{e^{-x}+e^x}{2}=f(x)より,\ f(x)は\bm{偶関数(y軸対称)}である. \\[.8zh] g(-\,x)=\bunsuu{e^{-x}-e^x}{2}=-\bunsuu{e^x-e^{-x}}{2}=-\,g(x)より,\ g(x)は\bm{奇関数(原点対称)}である. \\[1zh] 常にe^x>0,\ e^{-x}>0より,\ f”(x)とg'(x)が=0になることはない. \\[.2zh] f'(x)=0とg”(x)=0は,\ e^x-e^{-x}=0を解くことになる. \\[.2zh] e^x=e^{-x}\ \Longleftrightarrow\ e^x=\bunsuu{1}{e^x}\ \Longleftrightarrow\ (e^x)^2=1\ \Longleftrightarrow\ e^x=1\ \Longleftrightarrow\ x=0 \\[.8zh] x\leqq0との接続も考慮すると,\ f'(x)=0やg”(x)=0であることも重要である. \\[.2zh] 対称性も考慮すると,\ f(x)はx=0で極小,\ g(x)はx=0で変曲点となることがわかる. \\[1zh] x\to\infty のとき,\ e^{-x}\to0より f(x)\kinzi\bunsuu{e^x}{2},\ \ g(x)\kinzi\bunsuu{e^x}{2} \\[.8zh] よって,\ f(x)とg(x)は,\ y=\bunsuu{e^x}{2}\,を\bm{漸近曲線}にもつ. \\[.8zh] ただし,\ 指数関数であるため,\ 漸近の度合いは非常に強い. \\[.2zh] x\to-\,\infty のとき,\ e^x\to0より f(x)\kinzi\bunsuu{e^{-x}}{2},\ \ g(x)\kinzi-\bunsuu{e^{-x}}{2} \\[.8zh] 一般には漸近曲線の考慮は必須ではないが,\ このグラフにおいては常識としておきたい. \\[1zh] f(x)は,\ カテナリー(懸垂線)と呼ばれる頻出有名曲線で,\ 鎖を表すラテン語catenaに由来する. \\[.2zh] 一様な重さの鎖の両端を持って垂らすと,\ 位置エネルギーが最も低くなるこの曲線が現れる. \\[.2zh] ガリレオはこの曲線が放物線であると誤解していたという. \\[.2zh] 大学では,\ 双曲線関数\ \sinh x=\bunsuu{e^x-e^{-x}}{2},\ \ \cosh x=\bunsuu{e^x+e^{-x}}{2}\ として学習する. \\[.8zh] これらをハイパーボリックサイン,\ ハイパーボリックコサインと呼ぶ. \\[.2zh] hyperbolicは「双曲線の」という意味である.