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関数\ f(x)=\bunsuu{x^2}{x-1}\ のグラフをかけ.$ \\[.5zh] 定義域は ,分子の次数下げ\,}]$} \\[1zh] 極大 \}極小 }{y=x+1が漸近線}となる.$
まず,\ \bm{定義域}を確認する.\ (分母)\neqq0より,\ x\neqq1である. \\[.2zh] 次に,\ 対称性を確認するが,\ 偶関数でも奇関数でもない. \\[1zh] 分数関数では,\ (分子の次数)\geqq(分母の次数)のとき\bm{分子の次数を分母より小さくする}変形があった. \\[.2zh] グラフの図示においてこの変形は必須である(理由は後述). \\[.2zh] x^2\div(x-1)を筆算で割り算するとx^2=(x-1)(x+1)+1とできることを利用する. \\[1zh] f'(x)を求めるとき,\ \bunsuu{x^2}{x-1}とx+1+\bunsuu{1}{x-1}\,のどちらを微分するのが楽かは微妙である. \\[.8zh] \bunsuu{x^2}{x-1}は微分自体は面倒だが,\ 微分後に因数分解形まで素早く変形できる. \\[.8zh] 一方,\ x+1+\bunsuu{1}{x-1}\,は微分自体は簡単だが,\ その後に通分して変形する必要が生じる. \\[.8zh] ただし,\ 2階微分まで求めることを見越すと,\ x+1+\bunsuu{1}{x-1}\,を微分する方が楽になる. \\[.8zh] なお,\ f'(x),\ f”(x)の計算では,\ \left(\bunsuu1x\right)’=-\bunsuu{1}{x^2}\,を公式として利用している. \\[.8zh] f'(x)は常に分母(x-1)^2>0\ (x\neqq1)より,\ 分子x(x-2)だけで符号が決まる. \\[1zh] 増減表は\bm{定義域も考慮して作成する}必要があるので,\ x=1のマスも作る必要がある. \\[.2zh] また,\ x=1を境に符号が変わる可能性があるので,\ x<1と1<xを別々に求める必要もある. \\[1zh] (分母)=x-1=0は,\ \bm{x=1が漸近線}であることを示唆している. \\[.2zh] 実際に示すには,\ x-1>0\ (x\to1+0),\ x-1<0\ (x\to1-0)に注意して片側極限を求める. \\[.8zh] 一般に,\ \bm{(1次式)+(分数式)のグラフは,\ y=(1次式)が漸近線になる}ことは覚えておく. \\[.2zh] f(x)=(1次式)+(分数式)としてその理由を示す. \\[.2zh] まず,\ f(x)-(1次式)=(1次式)+(分数式)-(1次式)=(分数式)である. \\[.2zh] ここで,\ (分数式)は分母の方が高次なので \dlim{x\to\pm\infty}(分数式)=0となる. \\[.2zh] 結局,\ \dlim{x\to\pm\infty}\{f(x)-(1次式)\}=\dlim{x\to\pm\infty}(分数式)=0\ が成り立つ. \\[.2zh] これは,\ y=(1次式)がy=f(x)の漸近線であることを意味している. \\[.2zh] 本問では,\ 次数下げによりy=x+1が漸近線とわかる. \\[.2zh] 答案には,\ \dlim{x\to\pm\infty}\{f(x)-(x+1)\}=0という結果だけ書いておけば十分である. \\[1zh] 最後,\ 主要な5点と漸近線を先に書き入れた後,\ 一気に曲線を描く. \\[1zh] 実は,\ このグラフの概形だけならば,\ 次数下げをした時点でわかる. \\[.2zh] y=\bunsuu{1}{x-1}\,は,\ 双曲線(反比例のグラフ)\ y=\bunsuu1x\,をx方向に1平行移動したものである. \\[.8zh] それに直線y=x+1を加えたものなのであるから,\ 上図のようなグラフになるのも当然である. \\[.2zh] \bm{分子の次数下げは,\ 漸近線をあぶり出し,\ グラフの概形をも示唆する極めて重要な変形なのである.}