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指数関数$\bm{y=a^x}$の微分公式}}を導くことを考えよう. \\[.2zh] もちろん,\ 導関数の定義$f'(x)=\dlim{h\to0}\bunsuu{f(x+h)-f(x)}{h}$に基づいて導出する.
$\textcolor{red}{\dlim{h\to0}\bunsuu{a^h-1}{h}}\ \cdots\cdots\maru2$に帰着するが,\ そのままだと$\bunsuu00$の不定形なので図形的に考える. \\[.2zh] \scalebox{.97}[1]{$\dlim{h\to0}\bunsuu{a^h-1}{h}=\textcolor{red}{\dlim{h\to0}\bunsuu{a^h-a^0}{h-0}}$とみると,\ 微分係数の定義$f'(a)=\dlim{b\to a}\bunsuu{f(b)-f(a)}{b-a}$の形である.} \\[.2zh] \scalebox{.97}[1]{つまり,\ \maru2は$f(x)=a^x$のときの$\textcolor{red}{f'(0)}$であり,\ これは\textcolor{red}{$x=0$における微分係数(傾き)}である.} \\[.2zh] $f(x)=a^x$を図示すると左下図になるが,\ 困ったことに$a$の値によって$f'(0)$は変化する. \\[.2zh] 仕方がないので,\ $f'(0)$が一定値をとらないことを逆に利用しよう. \\[.2zh] $f'(0)$が一定値をとらないならば,\ 都合がよい値になるように$a$を定義してしまえばよい. \\[.2zh] \maru1の式を見て,\ 「\textcolor{magenta}{$\dlim{h\to0}\bunsuu{a^h-1}{h}=1\ \cdots\cdots\maru3$だったらいいのに$\cdots$}」と思えないだろうか. \\[.2zh] \scalebox{.97}[1]{\maru3となるには,\ $h\kinzi0$のとき$\bunsuu{a^h-1}{h}=1\ \Longleftrightarrow\ a^h=1+h\ \Longleftrightarrow\ a=(1+h)^{\frac1h}$であればよい.} \\[.2zh] 実は,\ \textbf{\textcolor{red}{$\bm{\dlim{h\to0}(1+h)^{\frac1h}}$は一定値$\bm{2.71828\cdots}$\,(無理数)に収束する}}ことが知られている. \\[-0.2zh] この極限値を$\bm{\textcolor{blue}{e}}$と定義し,\ 「\textbf{\textcolor{blue}{自然対数の底}}」と呼ぶ.\ 当然,\ $\bm{\textcolor{blue}{\dlim{h\to0}\bunsuu{e^h-1}{h}=1}}$となる. \\[.2zh] 図形的には,\ \textcolor{red}{$f(x)=e^x$の$x=0$における傾き$f'(0)$が1になる}ことを意味する(右下図). \\[.2zh] $\dlim{h\to0}(1+h)^{\frac1h}$が収束することの証明は高校範囲を超えるので,\ 高校生は丸暗記である. \\[0zh] \scalebox{.97}[1]{結局,\ $\bm{\textcolor{blue}{e=\dlim{h\to0}(1+h)^{\frac1h}}}$と定義すると$\bm{\textcolor{blue}{(e^x)’=e^x}}$となり,\ 完全無欠の微分公式が完成する.} \\[.2zh] 微分で変化しないならば積分でも変化しないということであり,\ その利便性は計り知れない. \\\\[1zh] $(e^x)’=e^x$を元にして\textbf{\textcolor{blue}{$\bm{(a^x)’}$の微分公式}}も導かれる. \\[.2zh] 以下,\ 対数では底の$e$を通常省略して表すことに注意する.\ つまり,\ $\log x=\log_ex$である. \\[.5zh] \centerline{$\textcolor{ForestGreen}{a^x=e^{\log a^x}}$より $\bm{\textcolor{blue}{(a^x)’}}=(e^{\log a^x})’=e^{\log a^x}(\log a^x)’=a^x(x\log a)’=\bm{\textcolor{blue}{a^x\log a}}$} \\\\
自然対数の底$e$の定義には,\ \textbf{\textcolor{blue}{同値な表現}}がいくつかある. \\[.2zh] ここまでで,\ $\dlim{h\to0}(1+h)^{\frac1h}=e$と$\dlim{h\to0}\bunsuu{e^h-1}{h}=1$が同じ意味合いをもつ. \\[.2zh] $h→\,\bunsuu1k$とすると$h→0$のとき$k→\pm\infty$である. \\
よって,\ $\dlim{h\to0}(1+h)^{\frac1h}=e$は,\ $\bm{\textcolor{blue}{\dlim{k\to\pm\infty}\left(1+\bunsuu1k\right)^k=e}}$に書き換えることができる. \\[.2zh] こちらのほうを自然対数の底$e$の定義とすることも多い. \\[.2zh] さらに,\ $\bm{\textcolor{blue}{\dlim{h\to0}\bunsuu{\log(1+h)}{h}}}=\dlim{h\to0}\log(1+h)^{\frac1h}=\log e=\bm{\textcolor{blue}{1}}$も導かれる. \\\\
対数関数$\bm{y=\log_ax}$の微分公式}}を導くことを考えよう. \\[.5zh] ここで,\ $\bunsuu hx=k$とおくと$h\,→\,0$のとき$k\,→\,0$であるから \\[.2zh] こうして,\ 対数関数の微分公式\ $\bm{\textcolor{blue}{(\log_ax)’=\bunsuu{1}{x\log a}}}$が導かれる. \\[.2zh] 特に$a=e$のとき,\ $\bm{\textcolor{blue}{(\log x)’=\bunsuu1x}}$と簡潔になり,\ $e$の定義の合理性を再確認できる. \\\\
さらに,\ $\bm{\textcolor{blue}{y=\log_a\zettaiti x}}$の微分公式を導くことを考える. \\[.2zh] $\log_ax$の定義域は真数条件から$x>0$だが,\ $\log_a\zettaiti x$の定義域は$x\neqq0$である. \\[.2zh] 先に,\ $\log\zettaiti x$を$x>0$と$x<0$で場合分けして絶対値をはずして微分してみる. \\[.5zh] \centerline{$\begin{cases} x>0のとき (\log\zettaiti x)’=(\log x)’=\bunsuu1x \\[.6zh] x<0のとき (\log\zettaiti x)’=\{\log(-\,x)\}’=\bunsuu{1}{-\,x}\cdot(-\,x)’=\bunsuu1x & (\textcolor{BrickRed}{合成関数の微分}) \end{cases}$} \\\\[.5zh]  結局,\ 場合分けせずとも$\bm{\textcolor{blue}{(\log\zettaiti x)’=\bunsuu1x}}$とまとめて表せることがわかる. \\[.2zh]  これを元にして,\ $(\log_a\zettaiti x)’$の微分公式も導かれる. \\[.2zh] \centerline{$\bm{\textcolor{blue}{(\log_a\zettaiti x)’}}=\left(\textcolor{ForestGreen}{\bunsuu{\log_e\zettaiti x}{\log_ea}}\right)’=\bunsuu{1}{\log_ea}\cdot\bunsuu1x=\bm{\textcolor{blue}{\bunsuu{1}{x\log a}}}$} \\\\\\  以上が自然対数の底$e$の定義や指数関数・対数関数の導関数の重要事項の全てである. \\[.2zh]  かなり長くなったが,\ 正直言ってここまでの話は知らなくても試験ではほぼ困らない. \\[.2zh]  高校生がやるべきことは,\ 以下を公式として丸暗記することである.\ $a>0,\ a\neqq1$とする. \\\\
自然対数の底$e$の定義 
同値な表現}} & $
{$e$の近似値}} &{2.72}$ \\\\
指数関数の導関数}} &f{対数関数の導関数}}
対数の定義\ a^p=M\ \Longleftrightarrow\ p=\log_aM\ より,\ \bm{a^{\log_aM}=M}\ が成り立つ(数\text{I\hspace{-.1em}I}). \\[.2zh] この関係式においてa→e,\ M→a^x\,とすると,\ e^{\log_ea^x}=a^x\ となることがわかる(e^{\log_ax}\,ではない). \\[.2zh] このようにして,\ \bm{指数関数は,\ 底が何であっても底をeに変換することができる.} \\[.2zh] (e^{\log a^x})’\,は,\ \log a^x=uと考えると合成関数の微分であるから (e^u)’=e^u\cdot u’ \\[1zh] \log_a(1+k)^{\frac{1}{kx}}=\log_a\{(1+k)^{\frac1k}\}^{\frac1x}=\bunsuu1x\log_a(1+k)^{\frac1k} \\[.6zh] \bm{対数関数は,\ 底が何であれ変換公式\ \log_ab=\bunsuu{\log_cb}{\log_ca}\ で底をeに変換できる}のは言うまでもない. \\[1.5zh] 全ての指数関数と対数関数の底をeに変換できるからこそ,\ 底eの公式の存在価値が際立つのである.