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次の公式を証明せよ. \\[1zh] \hspace{.5zw} (1)\ \ $\{f(x)g(x)\}’=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$ \\[.8zh] \hspace{.5zw} (2)\ \ $\{f(x)g(x)h(x)\}’=f'(x)g(x)h(x)+f(x)g'(x)h(x)+f(x)g(x)h'(x)$ \\
{積の微分法}}}} \\\\[.5zh] \centerline{\dilutecolor{yellow}{.2}{dy}\colorbox{dy}{\begin{tabular}{c}
{\large $\bm{\{\textcolor{magenta}{f(x)}\textcolor{cyan}{g(x)}\}’=\textcolor{magenta}{f'(x)}\textcolor{cyan}{g(x)}+\textcolor{magenta}{f(x)}\textcolor{cyan}{g'(x)}}$} \\\\
{\large \scalebox{.98}[1]{$\bm{\{\textcolor{magenta}{f(x)}\textcolor{cyan}{g(x)}\textcolor{Purple}{h(x)}\}’=\textcolor{magenta}{f'(x)}\textcolor{cyan}{g(x)}\textcolor{Purple}{h(x)}+\textcolor{magenta}{f(x)}\textcolor{cyan}{g'(x)}\textcolor{Purple}{h(x)}+\textcolor{magenta}{f(x)}\textcolor{cyan}{g(x)}\textcolor{Purple}{h'(x)}}$}}
{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)}{h}}$ \\[.6zh] \phantom{ \syoumei}\ \ $\phantom{\{f(x)g(x)\}’}=\dlim{h\to0}\bunsuu{f(x+h)g(x+h)\,\textcolor{red}{-\,f(x)g(x+h)+f(x)g(x+h)}-f(x)g(x)}{h}$ \\[.6zh] \phantom{ \syoumei}\ \ $\phantom{\{f(x)g(x)\}’}=\dlim{h\to0}\left\{\bunsuu{f(x+h)-f(x)}{h}\cdot g(x+h)+f(x)\cdot\bunsuu{g(x+h)-g(x)}{h}\right\}$ \\[.6zh] \phantom{ \syoumei}\ \ $\phantom{\{f(x)g(x)\}’}=\bm{f'(x)g(x)+f(x)g'(x)}$ \\\\
\phantom{ \syoumei}\ \ $\textcolor{cyan}{g(x)h(x)=G(x)}$とする. \\[.5zh] \phantom{ \syoumei}\ \ $\{f(x)\textcolor{cyan}{g(x)h(x)}\}’=\{f(x)\textcolor{cyan}{G(x)}\}’=f'(x)\textcolor{cyan}{G(x)}+f(x)\textcolor{cyan}{G'(x)}$ \\[.2zh] \phantom{ \syoumei}\ \ $\phantom{\{f(x)g(x)h(x)\}’}=f'(x)g(x)h(x)+f(x)\textcolor{cyan}{\{g(x)h(x)\}’}$ \\[.2zh] \phantom{ \syoumei}\ \ $\phantom{\{f(x)g(x)h(x)\}’}=f'(x)g(x)h(x)+f(x)\{\textcolor{cyan}{g'(x)h(x)+g(x)h'(x)}\}$ \\[.2zh] \phantom{ \syoumei}\ \ $\phantom{\{f(x)g(x)h(x)\}’}=\bm{f'(x)g(x)h(x)+f(x)g'(x)h(x)+f(x)g(x)h'(x)}$
公式の暗記はできていても,\ 証明ができないという学生が非常に多い. \\[.2zh] \bm{入試では証明自体も割とよく問われる}ので,\ 必ずできるようにしておいてほしい. \\[.2zh] 証明は,\ \bm{導関数の定義\ f'(x)=\dlim{h\to0}\bunsuu{f(x+h)-f(x)}{h}}\ に基づいて行う. \\[.8zh] f'(x)とg'(x)の式を作り出すため,\ \bm{分子に-f(x)g(x+h)+f(x)g(x+h)を挿入する}. \\[.2zh] 同種の極限計算においてよく使われる手法であるが,\ 経験がないと厳しいだろう. \\[.2zh] 後は,\ \dlim{h\to0}\bunsuu{f(x+h)-f(x)}{h}=f'(x),\ \dlim{h\to0}g(x+h)=g(x),\ \dlim{h\to0}\bunsuu{g(x+h)-g(x)}{h}=g'(x)\ である. \\[1.5zh] 使う機会は少ないが,\ 3つの関数の積に拡張できることも重要である. \\[.2zh] 一旦g(x)h(x)を1つの関数G(x)とみなし,\ \{f(x)g(x)\}’\,の公式を二段階で適用すると証明できる.