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次の公式を証明せよ. \\[1zh] \hspace{.5zw} \begin{tabular}{ll}
(1)\ \ $(\sin x)’=\cos x$ & (2)\ \ $(\cos x)’=-\sin x$ \\[.8zh] (3)\ \ $(\tan x)’=\bunsuu{1}{\cos^2x}$        & (4)\ \ $\left(\bunsuu{1}{\tan x}\right)’=-\bunsuu{1}{\sin^2x}$
{三角関数の微分法}}}}
導関数の定義\ \bm{f'(x)=\dlim{h\to0}\bunsuu{f(x+h)-f(x)}{h}}\ に基づいて証明する. \\[.6zh] \sin(x+h)-\sin xに,\ 和積の公式\ \sin A-\sin B=2\cos\bunsuu{A+B}{2}\sin\bunsuu{A-B}{2}\ を適用する. \\[.6zh] そのまま極限に飛ばすと\,\bunsuu00\,の不定形となるので,\ 極限公式\ \bm{\dlim{○\to0}\bunsuu{\sin ○}{○}=1}\ の利用を考える. \\[1zh] ○の部分をそろえるため,\ 分母が\,\bunsuu h2\,となるように無理矢理変形すればよい. \\[1zh] 別解は加法定理を利用するものであるが,\ かなり遠回りになる. \\[.2zh] 1-\cos hがあるとき,\ 分母分子に1+\cos hを掛けて不定形を解消するのであった.
和積の公式\ \cos A-\cos B=-\,2\sin\bunsuu{A+B}{2}\sin\bunsuu{A-B}{2}\ を適用する. \\[1zh] \cos x=\sin\hspace{-.2zw}\left(\bunsuu{\pi}{2}-x\right)の関係を利用して\,\sin\,に変換し,\ (1)を利用する別解も考えられる. \\[.6zh] 合成関数の微分となるので,\ \left(\bunsuu{\pi}{2}-x\right)’を掛けるのを忘れてはならない.
\tan x=\bunsuu{\sin x}{\cos x}\ を適用して整理し,\ さらに\bm{加法定理の逆}を適用する必要がある. \\[.6zh] 加法定理の逆より
(1),\ (2)と商の微分法の公式\ \left\{\bunsuu{f(x)}{g(x)}\right\}’=\bunsuu{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{\{g(x)\}^2}\ を使えるならば別解が速い.
まず,\ 積の微分法の公式\ \{f(x)g(x)\}’=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\ を適用する. \\[.2zh] (\sin^2x)’,\ (\cos^2x)’\,は,\ それぞれ\,\sin x=u,\ \cos x=u\,と考えて微分すればよい. \\[.2zh] 三角関数の微分計算では,\ 微分後に整理するために\bm{三角関数の各種公式に習熟している必要がある.} \\[.2zh] 本問は,\ 共通因数をくくり出した後,\ 2倍角の公式\,\cos2x=\cos^2x-\sin^2x\ を逆に用いる. \\[.2zh] さらに,\ \sin2x=2\sin x\cos x\ を逆に用いて,\ \sin2x\cos2x=\bunsuu12\sin4x\ とすることもできる. \\[1zh] 各種公式を用いて微分しやすい形に変形した後で微分することも重要である(別解). \\[.2zh] 本問は,\ 2倍角の公式を逆に用いて,\ あらかじめ積をまとめてから微分すると楽になる.
普通に積の微分法の公式を用いると本解のようになる. \\[.2zh] 二段目の式を答えとしてよいかもしれないが,\ \bm{積和公式}を使うことでより簡潔な式に変形できる. \\[.2zh] 後から積和公式を使うくらいならば,\ 最初に使ってから微分するほうが簡潔に済む(別解). \\[.2zh] 商の微分法の公式を適用する.\ 根号は\,\bunsuu12\,乗とは考えず,\ 公式\ \bm{(\ruizyoukon x\,)’=\bunsuu{1}{2\ruizyoukon x}}\ を利用する. \\[.2zh] 分数の分数を処理するため,\ 分母分子に2\ruizyoukon{1-\sin x}\ を掛けて整理する.
商の微分法の公式を使うだけである.\ 1つ手前の式を答えとしてもよいし,\ さらに変形するのもよい. \\
あらかじめ\,\sin,\ \cos\,に変換してから微分すると,\ 別解のようになる.
u=\tan x+\bunsuu{1}{\tan x}\ と考えるとy=u^2\,であるから y’=2u\cdot u’ \\[.6zh] 普通に計算すると,\ 2\left(\tan x+\bunsuu{1}{\tan x}\right)\hspace{-.3zw}\left(\bunsuu{1}{\cos^2x}-\bunsuu{1}{\sin^2x}\right)\ となる. \\[1zh] 先を見通すのは難しいが,\ うまく変形していくとなんだかんだで簡潔な形になる. \\[.2zh] 途中,\ 2倍角の公式\ \cos2x=\cos^2x-\sin^2x,\ \sin2x=2\sin x\cos x\ の逆を利用する. \\[1zh] あらかじめ変形してから微分する方法も考えられる(別解). \\[.2zh] \sin^22x=uと考えるとy=4\cdot\bunsuu{1}{u}\,であるから y’=-\bunsuu{1}{u^2}\cdot u’ \\[.6zh] 商の微分法の公式\ \left\{\bunsuu{1}{g(x)}\right\}=-\bunsuu{g'(x)}{\{g(x)\}^2}\ を適用したと考えてもよい. \\[1zh] \sin2x=vと考えるとu=v^2\,であるから u’=2v\cdot v’ \\[.2zh] 2x=wと考えるとv=\sin w\,であるから v’=\cos w\cdot w’