媒介変数表示関数の対称性・増減表・グラフの描き方

媒介変数表示関数${ x=f(t) y=g(t) のグラフの描き方}{対称性の確認 {x軸対称である.$ {y軸対称である.$ }{原点対称である.$ {y=xに関し対称である.$ まず,\ 簡単な例を示す. $tを-tに置換}したとき,\ 次が成り立つとする.$ }{-tのときとtのときのx座標は等しい}) Red}{-tのときとtのときのy座標は正負が逆}) $ ここで,\ $値tと値-tは0に関して対称である.$ これは,\ $t0の部分と0 tの部分がx軸対称}であることを意味する.$ よって,\ $tのときと2π-tのときのx座標は等しく,\ y座標の正負が逆(x軸対称)である.$ ここで,\ $値tと値2π-tは,\ π\ に関して対称である.$   $[∵\ {t+(2π-t)}{2}=π}]$} ゆえに,\ ${0 tπ\ の部分と\ π t 2π\ の部分がx軸対称である.$ よって,\ $tのときとπ-tのときのx座標の正負は逆で,\ y座標が等しい(y軸対称).$ ここで,\ $値tと値π-tは,\ {π}{2}に関して対称である の部分がy軸対称である.$ 結局,\ ${まず0 t{π}{2}\ の範囲を図示し,\ x軸対称かつy軸対称に図示すればよい.$ ちなみに,\ 次のこともわかる.\ 結果論だが,\ 当グラフでは考慮する必要性は低い. よって,\ $tのときと{π}{2}-tのときが直線y=xに関して対称である.$ ここで,\ $値tと値{π}{2}-tは,\ {π}{4}に関して対称である. の部分がy=xに関し対称である.$ さて,\ 試しに}\ $2π-t,\ π-t,\ {π}{2}-t}\ を代入したことにより,\ 対称性があることがわかった.$ しかし,\ ${そもそもこれらの代入値は何を根拠にしているのだろうか.}$ 仮に対称性が存在するならば,\ 対称の中心となる${t}$が何かを考える. 定義域は,\ $0 t2π\ である.\ また,\ cosθ,\ sinθ\ は,\ 周期が2π\ である.$ よって,\ ${対称の中心がπや{π}{2}\である可能性が高いと予想できる.$ $t=π\ が対称の中心}になりうるかは,\ t→2π-tと置換}してみるとわかる.$ $t={π}{2}\ が対称の中心}になりうるかは,\ t→π-tと置換}してみるとわかる.$ このような思考で,\ $2π-tやπ-t等を代入してみよう思ったわけである.$ また,\ 三角関数を含むなら,\ ${sin(π-θ)=sinθ\ 等の公式も1つの目安になる.$ その他,\ 簡単な${t}$の値をいくつか代入し,\ 概形をつかむのも有効である. 本問なら,\ $t={π}{4},\ {π}{2},\ π,\ 32π,\ 2π\ などを代入して点をとっていく.$ 対称性があれば高確率で気付けるはずである.\ 後はそれを式で確認すればよい. 増減表の作成yの5行の増減表を作る.$ ${dx}{dt}はx方向のみの増減,\ {dy}{dt}はy方向のみの増減}を表す.$ $よって,\ 増減表の対応は次のようになる.$ }{グラフの図示 $必要ならば,\ {傾き\ {dy}{dx}=dy}{dtdx}{dt\ を考慮する.$ 区間の端における傾きは,\ 片側極限で求めることになる (x軸平行)}である.$ 座標軸との交点を求める(容易に求まる場合のみ). 主要な点を全てとり,\ 増減表を元になめらかに曲線を描く. 実際には,\ ${(x,\ y)の動きを意識しながら図示することになる.$ $(x,\ y)の動きは,\ x方向,\ y方向の増減から,\ 4パターン存在する.$ \ 実際には5行または4行で十分だが,\ ここでは特別に7行の増減表を作成する. 区間の端における傾き,\ ${(x,\ y)の動き}$,\ 対称性を考慮して図示する. 区間の端の傾きと対称性より,\ $(1,\ 0),\ (0,\ 1)でなめらかに接続する.$ $x=cos t,\ y=sin t$は単に円の媒介変数表示なので,\ 実は5秒で図示できた.
タイトルとURLをコピーしました