次の関数を微分せよ. $ y=x^x(x>0) y=(log x)^x(x>1)$ $ y=[4](x-2)³}{(x-1)²(2x+1)$ \対数微分法 対数微分法は,\ ${両辺の絶対値の自然対数をとった後,\ 両辺をxで微分する$方法である. まず,\ どのような場合に対数微分法を使うのかを述べる. 対数微分法が有効な問題には,\ 大きく分けて2つある. 1つ目は以下のの場合である.\ ,\ がこれに当たる. $ {(変数})^{(定数})}の微分} 公式(x^a)’=ax^{a-1}を利用する. (x³)’=3x²$ [.25zh] $ {(定数})^{(変数})}の微分} 公式(a^x)’=a^xlog aを利用する. \ (2^x)’=2^xlog2$ [.25zh] $ {(変数})^{(変数})}の微分} 対数微分法12zw}(x^x)’$ 2つ目は,\ 多くの因数の積・累乗や商になっているのような場合である. 対数の性質を用いて分解してから微分すると楽になる. では,\ 実際に対数微分法でどのように微分するかを確認する. $y=f(x)$において両辺の絶対値の自然対数をとると,\ ${log y}=logf(x)}$となる. これの両辺を$x$で微分するとき,\ ${logy}をxで微分$することになる. .97}{しかし,\ $y$は$x$の関数であるにもかかわらず,\ 見かけ上$x$の式ではないので$x$で微分できない.} そこで,\ 次のように微分する. つまり,\ 一旦$yで微分({dlog y{dy})し,\ {dy}{dx}\ (=y’)を掛けてつじつまを合わせたわけである.$ これは,\ 合成関数の微分法に他ならない. このようにして,\ 見かけ上$x$の式でない関数を$x$で微分する機会が今後頻繁に訪れる. $x>0よりy>0なので,\ 両辺の自然対数をとる}と 両辺が常に正である場合,\ 絶対値をつける必要はない. log yの微分の途中過程を書く必要はないので,\ 直ちに{y’}{y}とすればよい. 右辺は積の微分法の公式\ {f(x)g(x)}’=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\ を用いることになる. 分母のyを右辺に移項し,\ さらにxの式にして完了する. 実は,\ 対数微分法を使わずに微分することも可能である(別解). 対数の定義\ a^p=Mp=log_aM\ より,\ {a^{log_aM}=M}\ が成り立つ. これを利用して底をeに変換してしまえば,\ (e^x)’=e^x\ の適用が可能になる(a→e,\ M→x^x). xlog x=uと考えると,\ (e^{xlog x})’=(e^u)’=e^u u’\ である.\ e^{xlog x}は微分後に元に戻す. $x>1$より$log x>0$であるから$y>0$である. }{両辺の自然対数をとる}と $log y=log(log x)^x=xlog(log x)$ { }両辺をxで微分する}と {log(log x)}’は,\ log x=uと考えると(log u)’=1u u’\ である. \両辺の絶対値の自然対数をとる}と まず,\ 絶対値を忘れない.\ 対数の性質を利用して分解していくと,\ 簡単なlog の微分に帰着する. 微分公式は,\ 絶対値がついていても\ (log x)’=1x\ であった. ただし,\ いずれも合成関数の微分になっているので注意が必要である.\ 後は以下を頑張って計算する. 対数の性質 log MN=log M+log N,log MN=log M-log N,log M^r=rlog M
