次の関数を微分せよ.
}{指数関数と対数関数の微分法}{指数関数の導関数
対数関数の導関数 &
積の微分法の公式\ f(x)g(x)}’=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)}\ を適用する.
商の微分法の公式\ {f(x)}{g(x)’={f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}g(x)}²\ を適用する.
別解のように変形して,\ 積の微分法の公式を適用してもよい.
対数の定義\ a^p=Mp=log_aM\ より,\ {a^{log_aM}=M}\ が成り立つ.
微分前でも微分後でもよいが,\ どっちにしてもa^{log _aM}=Mを使って簡潔な答えにする必要がある.
x+{x²+1}=uと考えると,\ y’=(log u)’=1u u’\ である.
さらに,\ x²+1=vと考えると,\ ({v})’={1}{2 v} v’\ である.
なお,\ ( x)’={1}{2 x}\ は公式として暗記必須である.
分数の分数になるので,\ 分母分子に{x²+1}を掛けて処理すると,\ 上手く約分できて簡潔になる.
簡潔になるのにはそれなりの背景がある.\ 特に,\ やは積分公式としても利用される.
あらかじめ微分しやすい形に変形すべきである.
特に対数関数の場合,\ log MN=log M+log N,\ log MN=log M-log N\ での分割が有効である.
また,\ log M^k=klog Mであるから,\ √{ }は12と考えると前に出せる.\ {2x}{x⁴-1}\ と答えてもよい.
まず,\ (tan x)’={1}{cos²x}\ は公式である.\ 微分後にそのまま終えてはいけない.
tan x={sin x}{cos x}\ および\ sin2x=2sin xcos xの逆を適用すると簡潔な形になる
そのままでは微分公式を適用できないので,\ 変換公式\ log_ab={log_cb}{log_ca}\ で底をeに変換する.
log2は定数なので,\ ({1}{log x})’に帰着する.\ log x=uと考えると,\ (1u)’=-{1}{u²} u’\ である
