xの関数yが\ 4x²+9y²=36\ を満たすとき,\ {dy}{dx},\ {d²y}{dx²}\ を求めよ.$ $xの関数yが\ x²-xy+2y²=1\ を満たすとき,\ {dy}{dx}\ を求めよ.$ $xの関数yが\ sin x-cos y=1\ を満たすとき,\ {dy}{dx}\ を求めよ.$ }{陰関数の微分法 % $x^{1/3}+y^{1/3}=1$ $sin x-cos y=1$ $y=f(x)の形を陽関数,\ f(x,\ y)=0の形を陰関数という.$ 陽関数にして微分すると面倒になる場合,\ 陰関数のまま両辺を${x}$で微分する. このとき,\ 合成関数の微分法が必要になる. $両辺をxで微分}すると yはxの関数だが,\ 見かけ上xの式ではないので直接xで微分できない. そこで,\ 一旦yで微分し,\ つじつま合わせにy’を掛けるのである. {d(y²)}{dx}={d(y²)}{dy}{dy}{dx}=2yy’ (合成関数の微分法) 陰関数の微分法では,\ 問題でxのみと指示されない限り,\ yを使って答えてもよいのが慣習である. {d²y}{dx²}求めるには,\ -{4x}{9y}をさらにxで微分することになる. yはxの関数なので,\ ( xy)’は商の微分法の扱いで計算しなければならない. 商の微分法の公式 f(x)}{g(x)’={f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}g(x)}²} 既知のy’も代入して整理すると,\ 与式の4x²+9y²の形が現れるので,\ 36として簡単にできる. 陰関数の微分法を使わずに,\ 陽関数にしてから微分すると,\ 次のようになる. 陰関数の微分法のほうが楽なのは明らかである.\ 特に,\ はy=にできないので必須である. 両辺をxで微分}すると yはxの関数なので,\ xyをxで微分するとき,\ {積の微分法}の扱いで計算しなければならない.
