xの関数として表せ.${逆関数の微分法 $y=f(x)$の逆関数を$y=f^{-1}(x)$とすると両辺を$x$で微分}すると主に次の2つの場合,\ 逆関数の微分法が有効である. ${yをxで微分するよりも,\ xをyで微分するのが楽な場合.$ そもそも${y=f(x)}$の形にできない場合. $[l} f(y)は,\ 一旦yで微分してから{dy}{dx}を掛けてつじつまを合わせる.\ 要は合成関数の微分法である. {dy}{dx}はこれで1つの記号あり分数ではないが,\ 分数のように考えて覚えればよい. 結果だけを暗記して安心してはいけない.\ 導出も含めて理解しておかなければ応用が利かなくなる 問題でxで表すことの指定がなければ,\ {dy}{dx}={1}{2y+4}と答えてよい. 実は,\ 最終的にxで表すならば逆関数の微分を使わないほうが早かったりする(別解). なお,\ 別解では公式\ 高校範囲ではy=f(x)の形に変形することはできないので,\ 逆関数の微分法が必須である. y=f(x)の形にできない関数でも,\ 逆関数の微分{f^{-1}(x)}’が求まるのである. 大学では,\ y=sin xの逆関数をy=\arcsin xと表す.\ (\arcsin x)’={1}1-x²\ が求まったわけである. 三角関数の相互関係 逆関数の微分法は,\ 問題が抽象的になるとややこしさが格段に上がり,\ 正答率が激減する. そもそも逆関数の表現自体がややこしいので,\ まずはそれを確認する. y=f(x)の逆関数は,\ xとyを入れ替えたx=f(y)である. そして,\ このx=f(y)を通常y=f^{-1}(x)やy=g(x)と表す. さて,\ y=xe^xの逆関数はx=ye^yであり,\ これを問題でy=g(x)としている. y=の形に変形することできないので,\ 逆関数の微分法を利用する. 繰り返しになるが,\ x=ye^yy=g(x)なので,\ g'(x)を求めることは{dy}{dx}を求めることである. ye^yをyで微分したものは,\ のf'(x)のxをyに変えるだけで計算する必要はない. g”(x)は,\ 当然g'(x)をxで微分したものである. しかし,\ g'(x)は見かけ上yの式なので,\ 一旦yで微分してから{dy}{dx}を掛けてつじつまを合わせる. g'(x),\ g”(x)はyの式なので,\ x=eのときのyを求めて代入するとg'(e),\ g”(e)が求まる. 実質同じだが,\ xe^xという具体的な関数を利用せずに抽象的な表現のまま記述したのが別解である. y=g(x)y=f^{-1}(x)であるから,\ x=f(y)である. f'(y)は,\ {df(y)}{dx}ではなく{df(y)}{dy}を表していることに注意してほしい. 抽象的な解答はわかり辛くはあるが,\ 逆に考えると汎用性が高いということである. 次のように具体的な関数が与えられない問題でも,\ 別解のようにして対応が可能である. 「y=f(x)においてf=e,\ f’=2e,\ f”=3eのとき,\ g'(e),\ g”(e)を求めよ.」 }]$
