平行移動の原理：x方向に+a平行移動するのに、x-aを代入する理由

関数を$x方向にa,\ y方向にb$平行移動するとき, 　$x→ x-a,\ y→ y-b$とすればよいことは覚えているだろう. 　しかし同時に,\ $+a,\ +b$平行移動させるのにもかかわらず, 　$x-a,\ y-bを代入することに疑問を感じつつも,\ 黙認している人が多い.$ 　この理由を理解しておくと,\ 関数の様々な移動を操ることが可能になる. 　直線や曲線を含む座標平面上の図形}は,\ 方程式を満たす点の集合}である.} 　よって,\ 様々な図形の移動(変換)}は,\ 結局点を移動させる}ことに帰着する.} 　0.98}{この視点で,\ ${y=x²\ を,\ x方向にa,\ y方向にb平行移動した関数を求める.$} 　関数$y=x²}上の移動前の点を(x,\ y)}とする.$ 　移動前の点}$(x,\ y)}を平行移動すると,\ 点(x+a,\ y+b)}に移る.$ 　この移動後の点}を$(X,\ Y)}$とおくと　　$X=x+a,\ Y=y+b}$ 　移動後の点}${(X,\ Y)$が満たす方程式}こそが,\ 平行移動後の関数}である 　もう一度整理しよう. 　既知}なのは,\ 移動前の点}${(x,\ y)}が方程式\ y=x²}\ を満たすことと,}$} 　移動前後の点の関係が,\ ${X=x+a,\ Y=y+b}\ となることである.}$} 　これを元に,\ 未知の移動後の点${(X,\ Y)}$}が満たす方程式を求める.} 　どうすれば,\ 未知の移動後の点$(X,\ Y)$}が満たす方程式を得られるだろうか. 　既知なのは,\ 移動前の点}$(x,\ y)}が\ y=x²}\ を満たすことである.$ 　よって,\ ${x=X-a,\ y=Y-b\ として,\ y=x²}\ に代入してやればよい.$ 　すなわち,\ ${Y-b=(X-a)²$であり,\ これが正に平行移動後の関数である. 　通常,\ これを${y-b=(x-a)²$\ に表現し直して解答する. 　もちろん,\ $y=(x-a)²+bとすると,\ 2次関数の基本形である.$ 　以上を単純化すると,\ yellow}{${x\ →\ x-a,\ y\ →\ y-b$}\ としたことに等しい. 　これは正確に言えば,${x\ → X-a,\ y\ → Y-b}\ だったのである$. 　以上を\ $y=x²$\ で考えたが,\ 一般の関数$y=f(x)$でも全く同様である. 　移動後の点${(X,\ Y)}$}を逆に平行移動}した点${(X-a,\ Y-b)}$}が, 　移動前の関数${y=f(x)}$}を満たすはずである. 　つまり,\ ${Y-b=f(X-a)$であり,\ 結局${y-b=f(x-a)$が得られる.} 　さらに,\ この考え方は,\ 他の移動(対称,\ 回転など)にまで一般化される. { 　「未知の移動後の関数}は,\ \namikasen{移動前の点}を移動後の点}で表し}, 　　既知の移動前の関数}に代入することで得られる」 　それ故,\ 関数の移動では,\ 逆に移動させたものを代入する}ことになる. 　最後に,\ 平行移動に関するよくある間違いを知っておく. 　$x→ x-a\ とすると,\ x方向に+a平行移動した関数が得られた.$ 　では,\ $y=(2x-5)²\ は,\ どのような関数なのだろうか.$ 　$y=2x²\ をx方向に+5平行移動した関数なのか？　いや,\ 違う.$ 　仮に,\ $y=2x²\ において,\ x→ x-5\ とすると,\ y=2(x-5)²\ である.$ 　正しくはこうである.\ まず, と変形する.$ 　これは,\ ${y=4x²\ をx方向に+52\ 平行移動したもの}といえる.$ 　実際,\ $y=4x²\ において,\ x→ x-52\ とした式になっている.$ 　平行移動量をみる場合,}\ ${まずxの係数を1とする変形が必要なのである.}$}