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整数\ a_n=19^n+(-1)^{n-1}\cdot2^{4n-3}\ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)\ のすべてを割り切る素数を求めよ.$ \\
\bm{数学的帰納法\maru3\ :整数の性質の証明}$}}}}
よって,\ $\textcolor{red}{a_n\,のすべてを割り切る素数は7と予想できる.}$ \\\\
$すべての自然数nに対し,\ a_n\,が7の倍数であることを数学的帰納法で示す.$ \\\\
$[1]\ \ \textcolor[named]{ForestGreen}{n=1}\ のとき  a_1=7\cdot3\ より,\ 7の倍数である.$ \\\\
が7の倍数であると仮定する.}$ (m:整数)}\ とおける. が7の倍数であることを示す
\phantom{ $[1]$}\ \ $  よって,\ \textcolor{magenta}{a_{k+1}\,は7の倍数であり,\ n=k+1\ のときも成立する.}$ \\\\[1zh] \centerline{$\therefore\ \ \bm{[1],\ [2]より,\ すべての自然数nに対してa_n\,は7の倍数である.}$} \\\\[.5zh] とりあえず\bm{具体的な数値を代入}してみると,\ 求める素数は7しかありえないことがわかる. \\[.2zh] もちろん,\ すべてのnについて示さなければ,\ 解答としては不十分である. \\[.2zh] 結局,\ a_n\,が7の倍数であることを数学的帰納法で証明することになる. \\[1zh] さて,\ 整数問題では,\ 日本語を数式で表現して議論していくことが重要である. \\[.2zh] \bm{日本語「a_k\,が7の倍数」は,\ 数式「a_k=7m\ (m:整数)」と表現できる.} \\[.2zh] この仮定を用いて,\ a_{k+1}\,が7の倍数であることを示せばよい. \\[.2zh] つまり,\ \bm{a_{k+1}=7N\ (N:整数)\ に変形することが最終目標}となる. \\[.2zh] 闇雲に変形するのではなく,\ このような目的意図を持ってa_{k+1}\,を変形していく必要がある. \\[1zh] 仮定を適用するには,\ a_{k+1}\,の式中に19^k+(-\,1)^{k-1}\cdot2^{4k-3}\ という形を作り出す必要がある. \\[.2zh] これは可能ではあるものの,\ かなり強引な変形になり,\ わかりづらい. \\[.2zh] その結果,\ 多くの学生がここで行き詰まる.\ しかし,\ 実に単純な方法でこの難所を乗り越えられる.. \\[.2zh] \bm{仮定の方を\ 19^k=7m-(-\,1)^{k-1}\cdot2^{4k-3}\ と変形して考える}のである. \\[.2zh] これならば,\ 19^kを作り出すだけで容易に適用することが可能になる. \\[.2zh] 19^{k+1}=19\cdot19^k\ として,\ この仮定を適用すればよい. \\[.2zh] 後は,\ \bm{7Nの形を目指して式を整理}していくだけである. \\[.2zh] 指数計算では,\ \bm{指数を小さい方にそろえる}ことが重要である. \\[.2zh] 大きい方にそろえようとすると,\ 分数になってしまい,\ 整数の性質が使えなくなる. \\[.2zh] (-\,1)^{k-1}\cdot2^{4k-3}\ と\ (-\,1)^k\cdot2^{4k+1}\ では,\ 前者のほうが指数が小さい. \\[.2zh] よって,\ (-\,1)^k=(-\,1)\cdot(-\,1)^{k-1},\ \ 2^{4k+1}=2^4\cdot2^{4k-3}\ としてそろえる. \\[.2zh] 指数がそろえば足し合わせることができ,\ うまく7でくくり出せるようになる. \\[1zh] 最後,\ 7をくくり出したことをもって,\ ただちに7の倍数としてはいけない. \\[.2zh] a_{k+1}=7( )となった後,\ 必ず\bm{( )内が整数であることを断る}必要がある. \\[.2zh] もし( )内が\,\bunsuu27\,などの分数ならば,\ a_{k+1}\,が7の倍数とは限らなくなるからである.
数列\suuretu{a_n}は,\ a_1=7,\ \ a_{n+1}=(a_n)^3\ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)\ によって定められるとする.$ \\[.2zh] \hspace{.5zw}$nを自然数とするとき,\ a_n\,を3^n\,で割ったときの余りが1になることを数学的帰納法$ \\[.2zh] \hspace{.5zw}$によって証明せよ.                         [神戸大]$ \\
のとき a_{1}=7\ より,\ 3^1\,で割ったときの余りは1である.$ \\\\
$[2]\ \ \textcolor[named]{ForestGreen}{n=k}\ のとき$ \\[.5zh] \phantom{ $[1]$}\ \ $  \textcolor{magenta}{a_k\,を3^k\,で割ったときの余りが1であると仮定する.}$ \\[.2zh] \phantom{ $[1]$}\ \ $  このとき,\ \textcolor{cyan}{a_k=3^kq_k+1\ \ (q_k:整数)}\ とおける.$ \\\\\ のときa_{k+1}\,を3^{k+1}\,で割ったときの余りが1となることを示す.}}
\phantom{ $[1]$}\ \   ここで,\ $kは1以上の整数であるから,\ \textcolor{red}{3^{2k-1},\ 3^kは整数}である.$ \\[.2zh] \phantom{ $[1]$}\ \   よって,\ $\textcolor{red}{3^{2k-1}{q_k}^3+3^k{q_k}^2+q_k\ は整数}である.$ \\[.2zh] \phantom{ $[1]$}\ \   ゆえに,\ $\textcolor{magenta}{a_{k+1}\,は3^{k+1}\,で割ったときの余りが1である.}$ \\\\
\centerline{$\therefore\ \ \bm{[1],\ [2]より,\ a_n\,を3^n\,で割ったときの余りは1である.}$
\bm{余りに関する証明}も,\ 倍数の場合と同様に証明できる. \\[.2zh] \bm{「AをBで割ったときの商Q,\ 余りR」は,\ 数式「A=BQ+R」で表現する.} \\[.2zh] 本問の場合,\ 3^k\,で割ったときの余りは常に1だが,\ 商はkごとに変化する. \\[.2zh] つまり,\ a_1=3^1q_1+1,\ a_2=3^2q_2+1,\ \cdots のとき,\ q_1,\ q_2,\ \cdots\cdots\ は同じ値ではない. \\[.2zh] よって,\ a_k=3^kq+1\ ではなく,\ \bm{a_k=3^kq_k+1\ とおく}必要がある. \\[1zh] 最終目標は,\ \bm{a_{k+1}=3^{k+1}( )+1}\ の形に変形することである. \\[.2zh] 与えられた漸化式に仮定を代入して変形していけばよい. \\[.2zh] 公式\ (a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\ で展開後,\ \bm{最終目標を目指して3^{k+1}\,をくくり出す.} \\[.2zh] このとき,\ 3k-(k+1)=2k-1\ より,\ 3^{3k}=3^{k+1}\cdot3^{2k-1}\ などに注意する. \\[.2zh] 先の問題と同様,\ \bm{( )内が整数の場合に3^{k+1}\,で割ったときの余りが1といえる.} \\[.2zh] そのために,\ 3^{2k-1}\,と3^k\,が整数であることを断ったわけである.