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nを5以上の自然数とするとき,\ \ n^2<2^n<n\kaizyou\ \ を証明せよ.$ \\
数学的帰納法\maru2\ :不等式の証明}$}}}
\phantom{ $[1]$}\ \   $よって,\ \textcolor{magenta}{n=k+1\ のときも\maru2は成立する.}$ \\\\
{[1],\ [2]より,\ 5以上のすべての自然数nについて\maru2は成立する.}$} \\\\
2つの不等式をそれぞれ数学的帰納法で証明する. \\[.2zh] 5以上の自然数とあるから,\ n=5からドミノを倒せばよい. \\[.2zh] 実際には,\ k\geqq5\ として証明する. \\[.2zh] さて,\ 等式の証明の場合は,\ 仮定を適用して変形していくと自動的に目標の式が得られた. \\[.2zh] しかし,\ 不等式の場合,\ 当然ながら左辺の式をいくら変形していっても右辺の式になることはない. \\[.2zh] そこで,\ 不等式の証明の基本通り,\ \bm{(左辺)-(右辺)>0}\ を示すことになる. \\[.2zh] >0\ を示すときに一工夫必要になることも多いので,\ 等式の証明よりも難易度が高くなる. \\[.2zh] また,\ 等式の証明の場合と同様に,\ あらかじめ最終結果を書いておくことも重要である(下線部). \\[1zh] \maru1を示すには,\ 仮定\ k^2<2^k\ を利用して2^{k+1}-(k+1)^2>0を示す必要がある. \\[.2zh] 仮定2^k>k^2\,を利用するため,\ \bm{無理矢理2^k\,の形を作り出す.} \\[.2zh] 等式の場合に代入するのと同様にして,\ \bm{2^k\,にk^2\,を代入する.}\ ただし,\ 等号ではなく\bm{不等号}になる. \\[.2zh] 不等式の場合に仮定をうまく利用できない人が多いが,\ 不等号になる以外は等式の場合と同じである. \\[1zh] 計算するとkの2次式となるから,\ これが正であることを示す.\ k^2-2k-1>0は自明ではない. \\[.2zh] 2次式の取りうる値の範囲(最大最小)を考えるときは,\ \bm{平方完成}するのであった. \\[.2zh] k\geqq5より(k-1)^2\geqq16であるから,\ (k-1)^2-2\geqq14>0である. \\[1zh] \maru2の証明においても仮定k\kaizyou>2^k\,を使うため,\ \bm{無理矢理k\kaizyou を作り出す.} \\[.2zh] \bm{(k+1)\kaizyou=(k+1)\cdot k\kaizyou}\ は,\ 本問に限らずよく使う変形である. \\[.2zh] 例えば,\ 4\kaizyou=4\cdot3\kaizyou\ であるのは当然だろう. \\[.2zh] さらに,\ \bm{指数の和・差は,\ 指数を小さい方にそろえて因数分解}する.
指数を大きい方にそろえようとすると,\ 分数になってしまい厄介だからである. \\[.2zh] k\geqq5\ を考慮すると,\ 正であることが示される.
\$nを2以上の自然数とするとき,\ \retuwa{k=1}{n}\bunsuu{1}{k^2}<2-\bunsuu1n\ が成立することを証明せよ.$
Σのままだとわかりづらいので,\ 和の形に書き下し考えるとよい. \\[.2zh] \left(2-\bunsuu{1}{k+1}\right)-\left\{1+\cdots\cdots+\bunsuu{1}{k^2}+\bunsuu{1}{(k+1)^2}\right\}>0を示すことが目標である. \\[.8zh] この中で,\ 1+\cdots\cdots+\bunsuu{1}{k^2}\ の部分に仮定が適用できそうである. \\[.8zh] \bm{不等号を用いつつ,\ 1+\cdots\cdots+\bunsuu{1}{k^2}\,の部分を\ 2-\bunsuu1k\ に置き換える.} \\[.8zh] このとき,\ \bm{不等号の向きに特段の注意が要る.} \\[.2zh] 1+\cdots\cdots+\bunsuu{1}{k^2}\ には,\ -がかかっている. \\[.8zh] よって,\ \bm{-\left(1+\cdots\cdots+\bunsuu{1}{k^2}\right)>-\left(2-\bunsuu1k\right)}\ と考えて適用しなければならない. \\[.8zh] あるいは,\ 1+\cdots\cdots+\bunsuu{1}{k^2}\,より大きい2-\bunsuu1k\,を引いた式の方が値が小さくなると考えてもよい. \\[.8zh] 最後は以下のように計算でき,\ k\geqq2も考慮して正であることが示される. \\[.2zh]