equality-proof

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自然数$\bm{n}$の命題$\bm{P(n)}$が全ての$\bm{n}$について成立することを示す方法}}である. \\  実際には,\ 次の2つを示せばよい. \\[.5zh]   $[1]$\ $\bm{\textcolor{red}{P(1)が成立することを示す.}}$ \\[.5zh]   $[2]$\ $\bm{\textcolor{red}{P(k)が成立することを仮定し,\ P(k+1)が成立することを示す.}}$ \\\\[.5zh] 数学的帰納法は,\ 直感的にはドミノ倒しにたとえられる(倒れる=証明完了). \\[1zh] \text{[1]}は,\ \bm{1番目のドミノを倒す}ためのものである. \\ \text{[2]}は,\ \bm{k番目のドミノが倒れたとき,\ (k+1)番目のドミノも倒す}ためにある. \\[1zh] 文字kで一般化されているから,\ 連鎖的にドミノが倒されることになる. \\ \text{[1]}でP(1)を倒す\ →\ P(2)も倒れる([2]でk=1)\ →\ P(3)も倒れる([2]でk=2) \\ これが永遠に繰り返され,\ 無限にある全てのドミノが倒されるのである. \\[1zh] 数学的帰納法は,\ \bm{自然数nの命題において絶大な威力}を発揮する. \\ 一般に,\ 無限にある全ての自然数について成立することを示すのは容易ではない. \\ しかし,\ 数学的帰納法を使えば,\ 上の2つを手順通り示すだけで済むのである. \\ 様々なパターンの問題があるが,\ やるべきことの根幹は全て同じである. \\ また,\ 受験という意味では,\ 部分点を稼ぎやすいというメリットもある. \\ 実際に証明できなくても,\ 最低限の\bm{証明の概要を示すことができる}からである. \\[1zh] なお,\ 「数学的帰納法」とは言うものの,\ 実は帰納ではなく\bm{演繹}(えんえき)である. \\ よって,\ 「帰納法で示す」のように,\ \bm{「数学的」を省略して記述してはいけない.} nを自然数とするとき,\ 次の等式を数学的帰納法によって証明せよ.$ \\[.5zh]  与えられた等式 \phantom{ $[1]$}\ よって,\ $\textcolor{magenta}{n=k+1\ のときも,\ \maru1は成立する.}$ \\\\ \centerline{$\textcolor{magenta}{[1],\ [2]より,\ 全ての自然数nについて,\ \maru1は成立する.}$} \\\\[.5zh] まず,\ 記述しやすいように,\ 与えられた等式に番号でもつけておこう. \\[1zh] n=1のときの証明は容易である. \\ \bm{左辺と右辺にそれぞれn=1を代入}し,\ 一致することを示せばよい. \\[1zh] n=kの場合を仮定し,\ kを代入した式を書く. \\ さて,\ n=k+1のときを証明する前に,\ 面倒でも下線部の記述をしておくとよい. \\ 絶対に必要なわけではないが,\ \bm{証明前に結果の式を先に示しておく}のである. \\ 理由の1つは,\ 自分自身で最終目標をしっかり認識するためである. \\ 証明中に,\ 今何をしていてこれから何をすべきかがわからなくなることは多い. \\ 先に目標を示しておくことで,\ そこに一直線に向かっていけるようになる. \\ また,\ 部分点をもらいやすくなるメリットもある. \\ 仮に証明できなくても,\ 最終的に示すべきことはわかっていたとアピールできる. \\ さらに,\ 本問の場合,\ 先にn=k+1のときの式を整理しておけるメリットもある. \\ つまり,\ \{3(k+1)-5\}\ →\ 3k-2\ としておき,\ これを証明する. \\ でなくては,\ 後から\ 3k-2\ →\ 3(k+1)-5\ のように逆に変形する羽目になる. \\[1zh] 目標の式を証明する.\ このとき,\ \bm{必ず仮定した式を使用}する. \\ 等式の証明であるから,\ 目標の式の左辺を変形していき,\ 右辺になればよい. \\ 目標の式の左辺の\ 1\cdot1+\cdots+(3k-2)\cdot2^{k-1}\ の部分は仮定の式と共通である. \\ ここに仮定の式を適用する. \\ 後はこれを整理していけば,\ 目標の式の右辺になるはずである. \\ 必ず目標の式になるはずだという明確な意図を持って変形していく. \\ \bm{仮定の式の両辺に\ (3k+1)\cdot2^k\ を加え,\ 右辺を計算する}と考えても同じである. \\ 最後は決まり文句を書いて完了する. \\ 正の整数 等式\ S(n)=T(n)\ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)\ が成り立つことを,\ 数学的帰納法$ \\[.2zh] を用いて示せ.                     [大阪大]$ \\ \phantom{ $[1]$}\ よって,\ $\textcolor{magenta}{n=k+1\ のときも,\ \maru1が成立する.}$ \\\\ \centerline{$\textcolor{magenta}{[1],\ [2]より,\ 全ての自然数nについて,\ \maru1が成立する.}$} \\\\\\ Σの正体がわかりにくいので,\ \bm{和の形で書き出す.} \\ このとき,\ nが1増えると,\ S(n)の項は2増えることに注意する. \\ 例えば,\ S(1)=1-\bunsuu12,\ \ S(2)=1-\bunsuu12+\bunsuu13-\bunsuu14\ である. \\ nとS(n)の対応をわかりやすくするために,\ 括弧をつけておく. \\[1zh] 本問の最大の難所は,\ \bm{n=k+1のときの最終目標を正しく認識できるか}である. \\ 簡単そうに思えるが,\ 実際にやってみると正しく認識できない人が少なくない. \\ S(n)とT(n)の規則性をよく考えて判断する必要がある. \\[1zh] n=k+1のとき,\ S(n)は2(k+1)=2k+2\ 項までの和である. \\ よって,\ n=kのときの式に\ \left(\bunsuu{1}{2k+1}-\bunsuu{1}{2k+2}\right)\ が加わる. \\[1.5zh] 特に間違えやすいのはT(n)である.\ \ \bm{T(k)とT(k+1)の違い}に注意する. \\ n=k+1のとき\bunsuu{1}{2n}=\bunsuu{1}{2k+2}\ であるが,\ \bm{T(n)の分母は1ずつ増えている.} \\[.8zh] よって,\ 最後の項が\ \bunsuu{1}{2k+2}\ ならば,\ \bunsuu{1}{2k+1}+\bunsuu{1}{2k+2}\ が増えるのである. \\[1zh] n=k+1の最終目標の式さえわかれば,\ 仮定を用いて証明するだけである. \\ 最終目標の式と見比べると,\ \bunsuu{1}{k+1}\ と\ -\bunsuu{1}{2k+2}\ の部分だけが異なる. \\ よって,\ これをまとめれば最終目標の式となると予想される.