n=2のとき aaとなっているのはa2の間違いですm(_ _)m

integer-proof

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整数\ a_n=19^n+(-1)^{n-1}\cdot2^{4n-3}\ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)\ のすべてを割り切る$ \\[.2zh] \hspace{.5zw}$素数を求めよ.                   [東京工業大]$ \\  よって,\ $a_nのすべてを割り切る素数は7と予想できる.$ \\\\  $すべての自然数nに対し,\ a_nが7の倍数であることを数学的帰納法で示す.$ \\\\ \phantom{ $[1]$}\ $ \textcolor{magenta}{a_k=19^k+(-1)^{k-1}\cdot2^{4k-3}\ が7の倍数であると仮定する.}$ \\[.2zh] \phantom{ $[1]$}\ $ このとき,\ \textcolor{cyan}{a_k=19^k+(-1)^{k-1}\cdot2^{4k-3}=7m\ \ (m:整数)}\ とおける.$ \\\\ 7の倍数であることを示す. \phantom{ $[1]$}\ $ ここで,\ \textcolor{red}{19m-5\cdot(-1)^{k-1}\cdot2^{4k-3}\ は整数}である.$ {\normalsize $[\textcolor{brown}{この断りが重要}]$} \\a_{k+1}は7の倍数であり,\ n=k+1\ のときも成立する.}$ \\\\ [1],\ [2]より,\ すべての自然数nに対して,\ a_nは7の倍数である.}$} \\\\[.5zh] \bm{具体的な数値を代入}して素数を求めると,\ 7しかありえないことがわかる. \\ よって,\ a_nが7の倍数であることを数学的帰納法で証明すればよい. \\[1zh] 整数問題では,\ 日本語を数式で表現することが重要である. \\ \bm{日本語「a_kが7の倍数」は,\ 数式「a_k=7m\ (m:整数)」で表現できる.} \\ この仮定を用いて,\ \bm{a_{k+1}=7N\ (N:整数)\ に変形することが最終目標}となる. \\ この形に変形できれば,\ 「a_{k+1}が7の倍数」が示されたことになるのである. \\ このような目的意図を持って,\ a_{k+1}を変形していく. \\[1zh] 仮定を適用するには,\ 19^k+(-1)^{k-1}\cdot2^{4k-3}\ という形を作り出す必要がある. \\ これは可能ではあるものの,\ スムーズに変形するのは容易ではない. \\ そこで,\ \bm{仮定を\ 19^k=7m-(-1)^{k-1}\cdot2^{4k-3}\ と変形して考える.} \\ これならば,\ 19^kを作り出すだけで容易に適用することが可能になる. \\ 実際には,\ 19^{k+1}=19\cdot19^k\ として,\ 仮定を適用すればよい. \\[1zh] 後は,\ \bm{7Nの形を目指して式を整理}していく. \\ 指数計算では,\ \bm{指数を小さい方にそろえる}ことが重要である. \\ 通常であれば,\ 大きい方にそろえて計算することもできなくはない. \\ しかし,\ \bm{整数問題では分数にならないように,\ 必ず小さい方にそろえる.} \\ (-1)^{k-1}\cdot2^{4k-3}\ と\ (-1)^k\cdot2^{4k+1}\ では,\ 前者のほうが指数が小さい. \\ よって,\ (-1)^k=(-1)\cdot(-1)^{k-1},\ \ 2^{4k+1}=2^4\cdot2^{4k-3}\ としてそろえられる. \\ 指数がそろえば足し合わせることができ,\ うまく7でくくり出せるようになる. \\[1zh] 最後,\ 7でくくり出したことをもって,\ ただちに7の倍数としてはいけない. \\ \bm{( )内が整数であることを断る}必要がある. \\ もし( )内が分数ならば,\ a_{k+1}が7の倍数とはいえなくなるからである. $数列\suuretu{a_n}は,\ a_1=7,\ \ a_{n+1}=(a_n)^3\ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)\ によって定めら$ \\[.2zh] \hspace{.5zw}$れるとする.\ nを自然数とするとき,\ a_nを3^nで割ったときの余りが1に$ \\[.2zh] \hspace{.5zw}$なることを数学的帰納法によって証明せよ.        [神戸大]$ \\  $[1]\ \textcolor[named]{ForestGreen}{n=1}\ のとき a_{1}=7\ より,\ 3で割ったときの余りは1である.$ \\\\  $[2]\ \textcolor[named]{ForestGreen}{n=k}\ のとき$ \\[.5zh] \phantom{ $[1]$}\ $ \textcolor{magenta}{a_kを3^kで割ったときの余りが1であると仮定する.}$ \\[.2zh] 割ったときの余りが1となることを示す.}}}$ \\[1zh] ここで,\ $kは1以上の整数であるから \phantom{ $[1]$}\ ゆえに,\ $\textcolor{magenta}{a_{k+1}は3^{k+1}で割ったときの余りが1である.}$ \\\\ \centerline{$\textcolor{magenta}{[1],\ [2]より,\ a_nを3^nで割ったときの余りは1である.}$} \\\\[.5zh] \bm{余りに関する証明}も,\ 倍数の場合と同様に証明できる. \\ \bm{「AをBで割ったときの商Q,\ 余りR」は,\ 数式「A=BQ+R」で表現する.} \\ 本問の場合,\ 3^kで割ったときの余りは常に1だが,\ 商はkごとに変化する. \\ 与えられた漸化式に仮定を代入して変形していけばよい. \\ 公式\ (a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\ を用いることになる. \\ 展開後,\ \bm{最終目標に向かって,\ 3^{k+1}\ をくくり出す.} \\ 先の問題と同様,\ \bm{( )内が整数の場合に,\ 3^{k+1}で割ったときの余りが1といえる.} \\ そのために,\ 3^{2k-1}と3^kが整数であることを断ったわけである.