inequality-proof

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nを5以上の自然数とするとき,\ \ n^2n\kaizyou\ \ を証明せよ.$ \\   \phantom{ $[1]$}\ $ \textcolor{magenta}{\maru1の成立を仮定}する \phantom{ $[1]$}\ $  \textcolor{green}{\underline{\textcolor{black}{(k+1)^22^{k+1}\ \ が成立することを示す.}}}$ \\[1zh] \phantom{ $[1]$}\ よって,\ $\textcolor{magenta}{n=k+1\ のとき,\ \maru1は成立する.}$ \\\\ \centerline{$\textcolor{magenta}{[1],\ [2]より,\ 5以上の全ての自然数nについて,\ \maru1は成立する.}$} \\\\\\  $[1]$\ $\textcolor[named]{ForestGreen}{n=5}\ のとき$ \\[.5zh] \phantom{ $[1]$}\ $(左辺)=2^5=32,\ \ (右辺)=5\kaizyou=120\ \ より,\ \maru2は成立する.$ \\\\  $[2]\ \textcolor[named]{ForestGreen}{n=k\ (k\geqq5)}\ のとき$ \\[.5zh] \phantom{ $[1]$}\ $\textcolor{magenta}{\maru2の成立を仮定}すると  \textcolor{cyan}{2^kk\kaizyou}$ \\[1zh] \phantom{ $[1]$}\ $よって,\ \textcolor{magenta}{n=k+1\ のときも,\ \maru2は成立する.}$ \\\\ \centerline{$\textcolor{magenta}{[1],\ [2]より,\ 5以上の全ての自然数nについて,\ \maru2は成立する.}$} \\\\ 2つの不等式をそれぞれ数学的帰納法で証明する. \\ 5以上の自然数とあるから,\ n=5からドミノを倒せばよい. \\ 実際には,\ k\geqq5\ として証明する. \\[1zh] 等式の場合は,\ 仮定を適用すれば,\ 自動的に目標の式が得られた. \\ しかし,\ 不等式の場合,\ 左辺を変形していって右辺になるということはない. \\ そこで,\ 不等式の証明の基本通り,\ \bm{(左辺)-(右辺)0}\ を示すことになる. \\ 0\ を示すときに,\ 場合によっては一工夫必要である. \\[1zh] \maru1を示すには,\ 仮定\ k^22^k\ の利用が必須である. \\ これを利用するには,\ \bm{無理矢理2^kの形を作り出せばよい.} \\ 等式と同じ要領で,\ \bm{不等号を用いつつ,\ 2^kをk^2に置き換える.} \\ kの2次式となるから,\ これが正であることを示す. \\ 2次式の取りうる値の範囲を考えるときは,\ \bm{平方完成}するのが基本である. \\ 通常は\ (k-1)^2-2\geqq-2\ だが,\ 今は\ \bm{k\geqq5}\ なので,\ 正であることが示される. \\[1zh] \maru2も仮定を使うために,\ \bm{無理矢理k\kaizyou を作り出す.} \\ \bm{(k+1)\kaizyou=(k+1)\cdot k\kaizyou}\ は,\ 本問に限らずよく使う変形である. \\ 例えば,\ 4\kaizyou=4\cdot3\kaizyou\ であるのは当然だろう. \\ さらに,\ \bm{指数の和・差は,\ 指数を小さい方にそろえて因数分解}する. \\ (k+1)2^k-2^{k+1}=(k+1)2^k-2\cdot2^k=\{(k+1)-2\}2^k=(k-1)2^k \\ 指数を大きい方にそろえようとすると,\ 分数になってしまい厄介である. \\ (k+1)\cdot\bunsuu{2^{k+1}}{2}-2^{k+1}  (これでも計算はできるが非推奨) \\ k\geqq5\ も考慮して,\ 正であることが示される. \hspace{.5zw}$nを2以上の自然数とするとき,\ \retuwa{k=1}{n}\bunsuu{1}{k^2}2-\bunsuu1n\ が成立することを数$ \\[.2zh] \hspace{.5zw}$学的帰納法によって証明せよ.$ \\ [1],\ [2]より,\ 2以上の全ての自然数nについて,\ \maru1は成立する わかりやすいように,\ \bm{Σを和の形で書き出しておく.} \\ 目標の式を作成し,\ \bm{(左辺)-(右辺)>0}\ を示す. \\[1zh] 目標の式で,\ 仮定を使えそうなのは,\ 1+\cdots+\bunsuu{1}{k^2}\ の部分である. \\ \bm{不等号を用いつつ,\ これを\ 2-\bunsuu1k\ に置き換える.} \\ このとき,\ 不等号の向きに注意する必要がある. \\ 結局次のように計算でき,\ k\geqq2\ より,\ 正であることが示される. \\